Schrödingerova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Schrödingerova rovnice je pohybová rovnice nerelativistické kvantové teorie. V roce 1925 ji formuloval Erwin Schrödinger. Popisuje časový a prostorový vývoj vlnové funkce částice, která se pohybuje v poli sil. Tato rovnice má v kvantové mechanice stejné postavení jako druhý Newtonův zákon v klasické mechanice.

Odvození rovnice[editovat | editovat zdroj]

Schrödingerova rovnice ve své době přirozeně vyplynula z předchozích výzkumů.

V roce 1905 došel Albert Einstein při studiu fotoelektrického jevu ke vztahu

E = h f\;,

který vyjadřuje vztah mezi energií E a frekvencí f kvanta elektromagnetického záření (fotonu), přičemž h označuje Planckovu konstantu.

V roce 1924 přišel Louis de Broglie s hypotézou, podle které přísluší všem částicím (nejen fotonům) vlnová funkce \Psi\;, přičemž vztah mezi hybností částice a vlnovou délkou vlny, která byla částici přiřazena (tzv. de Broglieho vlna) vyjádřil vztahem

p=h / \lambda\;.

De Broglie pomocí těchto vln také ukázal, že Einsteinův vztah E = hf platí nejen pro fotony, ale pro všechny částice.

Pro energii a hybnost lze pomocí úhlové frekvence \omega = 2\pi f\; a vlnového čísla k = 2\pi / \lambda\;, kde \hbar je redukovaná Planckova konstanta získat vztahy

E=\hbar \omega
\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}\;.


Schrödinger vyšel z předpokladu, že pohyb částice můžeme spojovat s de Broglieho vlnou. Vlnu šířící se ve směru osy x lze popsat vlnovou rovnicí, jejíž řešení lze vyjádřit jako

\Psi = A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega\left(t-\frac{x}{v}\right)},

kde \omega je úhlová frekvence, v je fázová rychlost a A je integrační konstanta. Toto řešení lze také přepsat do tvaru

\Psi = A\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left(Et-px\right)}.

Tento vztah popisuje částici s celkovou energií E a hybností p, která se pohybuje ve směru osy x. Označujeme ji také jako vlnovou funkci volné částice. Tento vztah však také představuje řešení Schrödingerovy rovnice, jejíž tvar z něj můžeme získat.

Celkovou energii (nerelativistické) částice v potenciálním poli lze zapsat jako

E = E_k + E_p = \frac{p^2}{2m}+V,

kde E_k je kinetická energie částice, V=E_p je potenciální energie částice (v kvantové mechanice je zvykem potenciální energii značit jako V, kinetickou energii jako T), p je hybnost a m je hmotnost částice.

Derivací vlnové funkce volné částice získáme následující vztahy

\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} = -\frac{p^2}{\hbar^2}\Psi
\frac{\part\Psi}{\part t} = -\mathrm{i}\frac{E}{\hbar}\Psi.

Dosazením do výrazu pro celkovou energii získáme

E\Psi = \mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = \frac{p^2}{2m}\Psi + V\Psi = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} + V\Psi.

Časově závislý tvar jednorozměrné Schrödingerovy rovnice lze tedy zapsat jako

\mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\part^2\Psi}{\part x^2} +V\Psi.


V trojrozměrném prostoru má časová Schrödingerova rovnice tvar

\mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi}{\part t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi + V\Psi,

kde \Delta je Laplaceův operátor.


Schrödinger pomocí této rovnice spočítal spektrální čáry vodíku, kdy popsal elektron jako vlnu nacházející se v potenciálové jámě vytvořené protonem (tedy jádrem atomu). Tento výpočet souhlasil s experimenty, výsledky Bohrova modelu atomu a také s maticovou mechanikou Wernera Heisenberga, přičemž Schrödinger nepotřeboval uvažovat s nekomutativností pozorovatelných, jak tomu bylo právě v maticové mechanice. Schrödinger svou práci o vlnové funkci a spektrálních čarách publikoval v roce 1926.

Schrödingerova rovnice určuje chování vlnové funkce, avšak neurčuje, co vlastně vlnová funkce je. Interpretaci vlnové funkce jako amplitudy pravděpodobnosti předložil v roce 1926 Max Born. Jsou však i jiné interpretace kvantové mechaniky.

Obecné vyjádření[editovat | editovat zdroj]

V obecném tvaru se Schrödingerova rovnice zapisuje jako

\hat{H}(t)\Psi(\mathbf{r},t) = \mathrm{i}\hbar\frac{\part\Psi(\mathbf{r},t)}{\part t},

kde \hat{H} je časově závislý hamiltonův operátor (hamiltonián) popisující pohyb částice v časově závislých vnějších polích. Ten vyjadřuje ve formě operátoru celkovou energii částice jako součet kinetické a potenciální energie. Výraz na pravé straně vyjadřuje časovou změnu vlnové funkce. Tato obecná Schrödingerova rovnice bývá také označována jako časová nebo nestacionární.

Obecné nestacionární řešení časové Schrödingerovy rovnice s časově nezávislým hamiltoniánem lze vyjádřit prostřednictvím rozvoje do ortonormálních stacionárních stavů, tzn.

\Psi(\mathbf{r},t) = \sum_n c_n\psi_n(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt},

kde c_n jsou časově nezávislá komplexní čísla určená počáteční podmínkou \Psi(\mathbf{r},t=t_0). Střední hodnota energie těchto stavů je na čase nezávislá.

Stacionární Schrödingerova rovnice[editovat | editovat zdroj]

Zvláštním případem Schrödingerovy rovnice je tzv. stacionární (časově nezávislá, bezčasová nebo nečasová) Schrödingerova rovnice, kterou lze získat za předpokladu, že vývoj systému je popsán Schrödingerovou rovnicí, v níž je \hat{H} časově nezávislý hamiltonián popisující pohyb částice v časově nezávislých vnějších polích.

V takovém případě lze provést separaci proměnných a hledat vlnovou funkci ve tvaru

\Psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r})\varphi(t).

S tímto předpokladem dostaneme po dosazení do Schrödingerovy rovnice:

\mathrm{i}\hbar\frac{\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t}}{\varphi(t)} = \frac{\hat{H}\psi(\mathbf{r})}{\psi(\mathbf{r})}.

Obě strany výsledné rovnice se musí rovnat konstantě, kterou označíme E. Tato konstanta má rozměr energie. Za uvedených předpokladů tak dostáváme dvě rovnice, přičemž první z nich se označuje jako stacionární Schrödingerova rovnice

\hat{H}\psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r})
\mathrm{i}\hbar\frac{\mathrm{d}\varphi(t)}{\mathrm{d}t} = E\varphi(t).

Rozepsáním hamiltoniánu lze získat:

\Delta\Psi + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V)\Psi = 0.


Vzhledem k tomu, že časově nezávislý hamiltonián se vyskytuje např. u popisu chování elektronu v atomu, představuje stacionární Schrödingerova rovnice velmi významnou rovnici kvantové mechaniky.

Stacionární stav[editovat | editovat zdroj]

Podle stacionární rovnice jsou energie E vlastními čísly hamiltoniánu \hat{H} (hovoří se též o vlastních energiích). K určení vlastních energií lze integrovat druhou rovnici, čímž získáme

\varphi_n(t) = N\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt},

kde N je normovací konstanta, kterou lze obvykle položit N=1.

Stavy s vlastními energiemi E_n lze tedy popsat vlnovými funkcemi

\Psi_n(\mathbf{r},t) = \psi_n(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}E_nt}.

Takové stavy se označují jako stacionární stavy. Stacionární stavy jsou zvláštností kvantové fyziky. V klasické mechanice se sice také vyskytují (např. nehybný hmotný bod), jedná se však vždy o případy z hlediska klasické mechaniky nezajímavé.

Hustota pravděpodobnosti stacionárního stavu na čase nezávisí, tzn.

{\left|\Psi_n(\mathbf{r},t)\right|}^2 = {\left|\psi_n(\mathbf{r})\right|}^2.

Střední hodnota libovolného časově nezávislého operátoru \hat{A} ve stacionárních stavech \Psi_n nezávisí na čase, tedy

\langle\hat{A}\rangle_n = \int \Psi_n^\star(\mathbf{r},t)\hat{A}\Psi_n(\mathbf{r},t)\mathrm{d}V = \int \psi_n^\star(\mathbf{r})\hat{A}\psi_n(\mathbf{r})\mathrm{d}V.

Pro stacionární stavy je také hustota toku pravděpodobnosti j nezávislá na čase.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Protože Schrödingerova rovnice obsahuje na jedné straně první parciální derivace vlnové funkce podle času a na druhé straně druhé derivace podle prostorových souřadnic (Laplaceův operátor), není tato rovnice invariantní vůči Lorentzově transformaci. Není tedy v souladu se speciální teorií relativity. Nejedná se tedy o relativistickou rovnici. Relativistickou obdobou Schrödingerovy rovnice jsou např. Diracova rovnice nebo Kleinova-Gordonova rovnice.

Schrödingerova rovnice umožňuje jednoduše formulovat a vyřešit v kvantové mechanice problémy jako lineární harmonický oscilátor, částice v potenciálové jámě nebo vodíku podobný atom. Vysvětluje stabilitu atomů, která byla pro klasickou fyziku záhadou. Umožnila pevné propojení fyziky s chemií, protože vysvětlila nejen ionizační energie prvků, ale i různorodost jejich chemického chování pomocí orbitalů tvořících atomový obal. Tyto poznatky umožnily vysvětlit čáry ve spektru zářících těles a pochopit tak stavbu a vývoj hvězd analýzou jejich světla.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]