Volná částice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Jako volná částice se ve fyzice označuje taková částice, na kterou nepůsobí žádné vazby. V klasické fyzice to znamená, že na částici nepůsobí žádné síly.

Volná částice v klasické fyzice[editovat | editovat zdroj]

V klasické fyzice je volná částice charakterizována konstantní rychlostí. Hybnost volné částice se také nemění a je určena jako

\mathbf{p}=m\mathbf{v}

Energii volné částice lze vyjádřit jako

E=\frac{1}{2}mv^2,

kde m je hmotnost částice a \mathbf{v} je vektor její rychlosti.

Volná částice v nerelativistické kvantové teorii[editovat | editovat zdroj]

V nerelativistické kvantové mechanice lze volnou částici popsat Schrödingerovou rovnicí ve tvaru

- \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \ \psi(\mathbf{r}, t) = \mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t} \psi (\mathbf{r}, t)

Řešení této rovnice pro určitou hybnost má tvar rovinné vlny

\psi(\mathbf{r}, t) = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)}

s podmínkou

\frac{\hbar^2 k^2}{2m}=\hbar \omega,

kde \mathbf{r} je polohový vektor, t je čas, \mathbf{k} je vlnový vektor a \omega \, je úhlová frekvence.

Částici, která je popsána uvedenou vlnovou funkcí, nelze v důsledku relací neurčitosti lokalizovat. Při přesně dané hodnotě hybnosti se totiž částice může nacházet v libovolném bodě prostoru se stejnou pravděpodobností. Vzhledem k tomu, že pravděpodobnost nalezení částice v celém (nekonečném) prostoru musí být rovna jedné, tzn. \int \psi^\star\psi\mathrm{d}V = 1, je pro konkrétní hodnotu hybnosti problém normalizovat vlnovou funkci.

Pro střední hodnotu hybnosti v uvedeném případě platí

\langle\mathbf{p}\rangle=\langle \psi |-\mathrm{i}\hbar\nabla|\psi\rangle = \hbar\mathbf{k}

Střední hodnota energie je pak udána jako

\langle E\rangle=\langle \psi |\mathrm{i}\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle = \hbar\omega

Dosazením z předchozích vztahů do omezující podmínky lze získat vztah mezi energií a hybností pro nerelativistickou hmotnou částici, tzn.

\langle E \rangle =\frac{\langle p \rangle^2}{2m},

kde p=|\mathbf{p}|.

Grupová rychlost vlny je

\left.\right.v_g= \frac{\mathrm{d}\omega}{\mathrm{d}k} = \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}p} = v,

kde v je klasická rychlost částice.

Fázová rychlost vlny je určena jako

\left.\right.v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{E}{p} = \frac{p}{2m} = \frac{v}{2}


V obecném případě nemusí mít volná částice určitou hybnost nebo energii. V takovém případě lze vlnovou funkci volné částice vyjádřit jako superpozici vlastních funkcí hybnosti volné částice, tedy

\left.\right. \psi(\mathbf{r}, t) = \int A(\mathbf{k})\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t)} \mathrm{d}\mathbf{k},

kde integrace probíhá přes všechna \mathbf{k}.

V obecném případě není hybnost částice určena jednou hodnotou, takže částici je možné lokalizovat (viz vlnový balík).

Relativistická volná částice[editovat | editovat zdroj]

Kvantová teorie umožňuje popsat také relativistické volné částice, přičemž používá k jejich popisu různé rovnice (podle druhu částice), např.

Související články[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Free particle na anglické Wikipedii.