Střední hodnota

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny X se značí \operatorname{E}X, \operatorname{E}(X) nebo také \langle X\rangle.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x),

kde P je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny X. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x.
\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Střední hodnota konstanty c je

\operatorname{E}(c)=c

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny X a konstanty c platí

\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin X, Y je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny X, Y je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina[editovat | editovat zdroj]

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x*2x na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články[editovat | editovat zdroj]