Střední hodnota

Možná hledáte: Věta o střední hodnotě diferenciálního počtu.

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá populační průměr.

Střední hodnota náhodné veličiny $X$ se značí $\operatorname{E}X$, $\operatorname{E}(X)$ nebo také $\langle X\rangle$.

Definice

Střední hodnota je parametr rozdělení náhodné veličiny, který je definován jako vážený průměr daného rozdělení. V řeči teorie míry se jedná o hodnotu

$\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x)$,

kde $P$ je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny $X$. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně:

• Má-li náhodná veličina $X$ spojité rozdělení s hustotou rozdělení $f(x)$, pak

$\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x$.

• Má-li náhodná veličina $X$ diskrétní rozdělení kde $P[X=s_{i}]=p_{i}$ pro $i \in I$ nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak

$\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}$

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty $c$ je

$\operatorname{E}(c)=c$

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny $X$ a konstanty $c$ platí

$\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)$

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin $X, Y$ je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy

$\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y)$

Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny $X, Y$ je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn.

$\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)$

Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin!

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti je na intervalu <0,1> f(x)=2x , jinde identicky rovna 0. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x. Potom střední hodnota je integrálem x×f(x) = 2x² na intervalu <0,1>. Výsledkem je střední hodnota 2/3.

Související články

• Rozptyl (statistika)
• Charakteristika náhodné veličiny