Diracova rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Diracova rovnice je kvantová relativistická rovnice, popisující chování hmotných částic se spinem ½. Popisuje například chování elektronu – to bylo Diracovou motivací k sestavení rovnice.

Kovariantní zápis rovnice[editovat | editovat zdroj]

Diracova rovnice je diferenciální rovnice prvního řádu pro vlnovou funkci ψ(x). Na rozdíl od nerelativistické kvantové mechaniky ovšem vlnová funkce není komplexní číslo, ale čtyřkomponentní objekt obvykle nazývaný spinor.

\left(i\hbar c \, \sum_{\mu=0}^3 \; \gamma^\mu \, \partial_\mu - mc^2 \right) \psi = 0

V rovnici vystupuje

V teoretických úvahách se často užívají přirozené soustavy jednotek, kde c=1 a \hbar = 1

  • \partial_\mu – parciální derivace podle souřadnice, μ je běžný relativistický index, v jedné z běžných konvencí konvenci může např. 0 indexovat časovou souřadnici a 1, 2, 3 prostorové
  • \gamma^\mu – Diracovy γ matice

Diracovy matice jsou komplexní 4×4 matice, splňující antikomutační relace

\left\{\gamma^\mu , \gamma^\nu \right\}= \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\mu \gamma^\nu= 2g^{\mu\nu} \cdot I

kde g je metrika (speciálně relativistická, tedy plochého prostoročasu, s volbou signatury +---). Tyto relace definují Cliffordovu algebru zvanou Diracova algebra. Obvykle se volí matice

\gamma^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix}, \gamma^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\-\sigma_{i}&0\end{pmatrix}

které tvoří takzvanou standardní reprezentaci. Je dokázáno, že jiné volby splňující definující relace se liší jen podobnostní transformací, σ jsou Pauliho matice.

Uhodnutí rovnice a porovnání s Schrödingerovou rovnicí[editovat | editovat zdroj]

Uvažme Schrödingerovu rovnici

 H \left| \psi (t) \right\rangle = i \hbar {d\over d t} \left| \psi (t) \right\rangle

V nerelativistické mechanice Hamiltonián odpovídá nerelativistickému výrazu pro kinetickou energii volné částice

H = \sum_{j=1}^3 \frac{p_j^2}{2m}

V relativistické mechanice je výraz pro energii komplikovanější

E = \sqrt{(mc^2)^2 + \sum_{j=1}^3 (p_jc)^2}

a není jasné, jak výrazu s odmocninou přiřadit v kvantové mechanice operátor. (Nadále užíváme obvyklou relativistickou volbu jednotek, kde c=1 a \hbar = 1.)

Uhodneme vhodný přístup

 m^2 + \sum_{j=1}^3 (p_j)^2 = \left( \alpha_0 m^2 + \sum_{j=1}^3 \alpha_j p_j \, \right)^2 ,

kde α jsou konstanty zatím neznámé povahy. Roznásobením, aby rovnice platila, získáme pro tyto α antikomutační relace

\left\{\alpha_\mu , \alpha_\nu\right\} = 2\delta_{\mu\nu} \cdot

Ukazuje se, že nejjednodušší objekty, pro které je možné relaci splnit, jsou matice 4×4. Vyhovující sadu matic Dirac našel (dnes se označuje jako Diracova reprezentace):

\alpha^0=\begin{pmatrix}I & 0\\0&-I\end{pmatrix},
\alpha^{i}=\begin{pmatrix}0 & \sigma_{i}\\\sigma_{i}&0\end{pmatrix}

Tím získáme vhodný relativistický Hamiltonián

 H = \alpha_0 m + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j

a Diracovu rovnici ve tvaru, který připomíná Schrödingerovou rovnici.

 \left(\alpha_0 m + \sum_{j = 1}^3 \alpha_j p_j \, \right) \psi (\mathbf{x},t) = i \frac{\partial\psi}{\partial t} (\mathbf{x},t) .

K převodu mezi tvary stačí dosadit za operátor hybnosti v souřadnicové reprezentaci

\mathbf{p} \psi(\mathbf{x},t) = - i \nabla \psi(\mathbf{x},t)

vynásobit obě strany α0. Výsledkem je už uvedený relativistický zápis rovnice a vztah mezi γ a α maticemi.

\gamma^0 \equiv \alpha_0, \quad \gamma^j \equiv \alpha_0 \alpha_j

Zápis ve Feynmanově „slash“ notaci[editovat | editovat zdroj]

Definujeme „přeškrtnutí“ (angl. a běžně i v českém prostředí „slash“ nebo jako „Feynmanův symbol“) jako

a\!\!\!/ \leftrightarrow \sum_\mu \gamma^\mu a_\mu

Diracovu rovnici lze v této Feynmanově notaci zapsat ve tvaru

(i\hbar c \, \partial\!\!\!/ - mc^2) \psi = 0\,,

kde c je rychlost světla ve vakuu a \hbar je Planckova konstanta. S relativistickou volbou jednotek (\hbar=c=1) pak obdržíme zvláště úsporný zápis

(i \, \partial\!\!\!/ - m) \psi = 0 \,.