Separace proměnných

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Separace proměnných (Fourierova metoda) je postup při řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic v matematice založený na převedení nezávislé proměnné na jednu stranu a závislé proměnné na druhou stranu rovnice a následné integraci obou stran rovnice.

Separaci proměnných nelze provést u všech diferenciálních rovnic. Rovnice, u kterých separaci proměnných provést lze, bývají označovány jako separabilní (separovatelné).

Obyčejná diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že diferenciální rovnici lze zapsat ve tvaru

\frac{d}{dx} f(x) = g(x)h(f(x))

pro y = f(x) můžeme psát:

\frac{dy}{dx}=g(x)h(y).

Pokud h(y) ≠ 0, můžeme rovnici upravit:

{dy \over h(y)} = {g(x)dx},

takže na každé straně rovnice je jenom jedna z proměnných x a y. S dx (a dy) můžeme pracovat jako s jinými prvky ve výrazu, aniž by nás zajímala formální definice dx jako diferenciálu.

Alternativní zápis[editovat | editovat zdroj]

Místo Leibnizovy notace můžeme použít zápis

\frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} = g(x),

ze kterého ale není zcela zjevné, proč se tato metoda nazývá „separace proměnných“. Integrováním obou stran rovnice podle x dostáváme

\int \frac{1}{h(y)} \frac{dy}{dx} \, dx = \int g(x) \, dx, \qquad\qquad (1)

nebo ekvivalentně,

\int \frac{1}{h(y)} \, dy = \int g(x) \, dx

díky substitučnímu pravidlu pro integrály.

Pro vyřešení rovnice stačí spočítat oba integrály. Tento postup nám umožňuje efektivně považovat derivace \frac{dy}{dx} za zlomky, které mohou být rozděleny. To umožňuje postupovat při řešení separabilních diferenciálních rovnic podobně jako při úpravě aritmetických výrazů:

Poznámka: Při integraci rovnice (1) není třeba používat dvě integrační konstanty jako v

\int \frac{1}{h(y)} \, dy + C_1 = \int g(x) \, dx + C_2,

stačí zavést jedinou konstantu, která je jejich rozdílem: C = C_2 - C_1.

Příklad (I)[editovat | editovat zdroj]

Obyčejnou diferenciální rovnici

\frac{d}{dx}f(x)=f(x)(1-f(x))

můžeme zapsat jako

\frac{dy}{dx}=y(1-y).

Pokud položíme g(x) = 1 a h(y) = y(1-y), můžeme tuto rovnici zapsat ve tvaru rovnice (1) výše. Tato diferenciální rovnice je tedy separabilní.

Jak je ukázáno výše, můžeme považovat dy a dx za zvláštní hodnoty, takže obě strany rovnice můžeme znásobit dx. Vydělením obou stran výrazem y(1 - y) dostáváme

\frac{dy}{y(1-y)}=dx.

Tím jsou proměnné x a y separované, protože x je na pravé straně rovnice a y pouze na levé.

Integrováním obou stran dostaneme

\int\frac{dy}{y(1-y)}=\int dx,

což pomocí částečných zlomků převedeme na

\int\frac{1}{y} \, dy + \int\frac{1}{1-y}\,dy=\int 1 \, dx,

a pak

\ln |y| -\ln |1-y|=x+C

kde C je integrační konstanta. Trocha algebra dává řešení pro y:

y=\frac{1}{1+Be^{-x}}.

Naše řešení můžeme zkontrolovat zderivováním nalezené funkce podle proměnné x, kde B je libovolná konstanta. Výsledek se musí shodovat s původním problémem. (Při řešení rovnice uvedené výše musíme být opatrní při práci s absolutními hodnotami. Ukazuje se, že různá znaménka absolutní hodnoty přispívají postupně ke kladným a záporným hodnotám B. Případ B = 0 pochází z y = 1, jak je diskutováno níže.)

Nezapomeňte, že protože jsme dělili y a (1 - y), musíme zkontrolovat, zda řešení y(x) = 0 a y(x) = 1 není také řešením (singulárním) diferenciální rovnice (v tomto případě obě tyto funkce řešením jsou).

Příklad (II)[editovat | editovat zdroj]

Populační růst je často znázorněn diferenciální rovnicí

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right),

kde P je populace s ohledem na čas t, k je rychlost růstu a K je nosná kapacita prostředí.

Pro řešení této diferenciální rovnice lze použít separaci proměnných.

\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{K}\right)
\int\frac{dP}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\int k\,dt

Pro vyhodnocení integrálu na levé straně zlomek zjednodušíme

\frac{1}{P\left(1-\frac{P}{K}\right)}=\frac{K}{P\left(K-P\right)}

a pak jej rozložíme na částečné zlomky

\frac{K}{P\left(K-P\right)}=\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}

Čímž dostaneme

\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{K-P}\right)\,dP=\int k\,dt

\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}=kt+C

\ln\begin{vmatrix}K-P\end{vmatrix}-\ln\begin{vmatrix}P\end{vmatrix}=-kt-C

\ln\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=-kt-C

\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-kt-C}

\begin{vmatrix}\cfrac{K-P}{P}\end{vmatrix}=e^{-C}e^{-kt}

\frac{K-P}{P}=\pm e^{-C}e^{-kt}

Nechť A=\pm e^{-C}.

\frac{K-P}{P}=Ae^{-kt}

\frac{K}{P}-1=Ae^{-kt}

\frac{K}{P}=1+Ae^{-kt}

\frac{P}{K}=\frac{1}{1+Ae^{-kt}}

P=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

Proto řešení logistické rovnice je

P\left(t\right)=\frac{K}{1+Ae^{-kt}}

Pro nalezení A, položíme t=0 a P\left(0\right)=P_0. Pak máme

P_0=\frac{K}{1+Ae^0}

Vzhledem k tomu, že e^0=1, dostaneme řešení pro A

A=\frac{K-P_0}{P_0}

Parciální diferenciální rovnice[editovat | editovat zdroj]

Metoda separace proměnných se používá také pro řešení množství lineárních parciálních diferenciálních rovnic s okrajovou a počáteční podmínkou, jako například rovnice vedení tepla, vlnová rovnice, Laplaceova rovnice a Helmholtzova rovnice.

Homogenní případ[editovat | editovat zdroj]

Uvažujme jednorozměrnou rovnici vedení tepla:

\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=0

 

 

 

 

(1)

Hraniční podmínka je homogenní, to jest

u\big|_{x=0}=u\big|_{x=L}=0

 

 

 

 

(2)

Pokusíme se hledat řešení které není identicky rovné nule, a které splňuje okrajovou podmínku ale s následující vlastností: u je součin, ve kterém je závislost u na x a t oddělena, to jest:

 u(x,t) = X(x) T(t).

 

 

 

 

(3)

Substitucí u zpátky do rovnice a použitím součinového pravidla dostaneme

\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.

 

 

 

 

(4)

Protože pravá strana závisí pouze na x a levá strana pouze na t, obě strany jsou rovné nějaké konstantní hodnotě − λ. Tedy:

T'(t) = - \lambda \alpha T(t),

 

 

 

 

(5)

a

X''(x) = - \lambda X(x).

 

 

 

 

(6)

− λ zde je vlastní hodnota pro oba diferenciální operátory a T(t) a X(x) jsou odpovídající vlastní funkce.

Nyní ukážeme, že řešení pro X(x) pro hodnoty λ ≤ 0 nemůže existovat:

Předpokládejme, že λ < 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.

Z (2) dostaneme

X(0) = 0 = X(L),

 

 

 

 

(7)

a proto B = 0 = C, což implikuje, že u je identicky rovno 0.

Předpokládejme, že λ = 0. Pak existují reálná čísla B, C taková, že

X(x) = Bx + C.

Z (7) odvodíme stejným způsobem jako v 1, že u je identicky rovno 0.

Proto musí existovat případ, kdy λ > 0. Pak existují reálná čísla A, B, C taková, že

T(t) = E^{-\lambda \alpha t},

a

X(x) = B \sin(\sqrt{\lambda} \, x) + C \cos(\sqrt{\lambda} \, x).

Z (7) dostaneme C = 0 a, které pro nějaké kladné celé číslo n,

\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.

Toto je řešení rovnice šíření tepla ve speciálním případě, kdy závislost u má speciální tvar (3).

Obecně suma řešení (1) které vyhovují hraniční podmínce (2) také vyhovuje (1) a (3). Tudíž úplné řešení může být daný jako

u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L} \exp\left(-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}\right),

kde Dn jsou koeficienty určené počáteční podmínkou.

Je-li dána počáteční podmínka

u\big|_{t=0}=f(x),

můžeme dostat

f(x) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \frac{n\pi x}{L}.

Toto je sinová řada rozvoje funkce f(x). Znásobením obou stran \sin \frac{n\pi x}{L} a integrováním na [0,L] dává

D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n\pi x}{L} \, dx.

Tato metoda vyžaduje, aby vlastní funkce x, zde \left\{\sin \frac{n\pi x}{L}\right\}_{n=1}^{\infty}, byly ortogonální a úplné. To je obecně zaručeno Sturm-Liouvilleovou teorií.

Nehomogenní případ[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že rovnice je nehomogenní

\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=h(x,t)

 

 

 

 

(8)

s okrajovou podmínkou stejnou jako (2).

Rozšíříme h(x,t), u(x,t) a f(x,t) na

h(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}h_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},

 

 

 

 

(9)

u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}u_{n}(t)\sin\frac{n\pi x}{L},

 

 

 

 

(10)

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin\frac{n\pi x}{L},

 

 

 

 

(11)

kde hn(t) a bn můžeme vypočítat integrací, zatímco un(t) je třeba určit.

Substitujeme (9) a (10) zpátky na (8) a uvažováním ortogonality funkce sinus dostaneme

u'_{n}(t)+\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}}u_{n}(t)=h_{n}(t),

což jsou posloupnosti lineárních diferenciálních rovnic, které lze ihned řešit, například Laplaceovou transformací nebo Integrační faktor. Navíc můžeme dostat

u_{n}(t)=e^{-\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} t} \left (b_{n}+\int_{0}^{t}h_{n}(s)e^{\alpha\frac{n^{2}\pi^{2}}{L^{2}} s} \, ds \right).

Jestliže je okrajová podmínka nehomogenní, pak expansion (9) a (10) není povolený. Hledáme funkci v, která vyhovuje okrajové podmínce pouze a subtract na z u. Funkce u-v pak vyhovuje homogenní okrajové podmínce a lze ji řešt výše uvedenou metodou.

Separaci proměnných lze provádět i v ortogonální křivočaré souřadnicové soustavě, ale v detailech se liší od postupu v Kartézských souřadnicích. Například podmínka regularity nebo periodicity podmínka může určovat vlastní hodnoty místo okrajových podmínek. Viz např. sférické harmonické funkce.

Matice[editovat | editovat zdroj]

Maticový tvar separace proměnných je Kroneckerova suma.

Jako příklad uvažujme 2D diskrétní Laplacián na regulární mřížce:

L = \mathbf{D_{xx}}\oplus\mathbf{D_{yy}}=\mathbf{D_{xx}}\otimes\mathbf{I}+\mathbf{I}\otimes\mathbf{D_{yy}}, \,

kde \mathbf{D_{xx}} a \mathbf{D_{yy}} jsou 1D diskrétní Laplaciány ve směru x, resp. y a \mathbf{I} jsou identity vhodné velikosti. Podrobnější informace jsou v článku Kroneckerova suma diskrétních Laplaciánů.

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Separation of variables na anglické Wikipedii.

  • POLYANIN, D.. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. Boca Raton : Chapman & Hall/CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-299-9.  
  • Tyn Myint-U, Lokenath Debnath. Linear Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Boston, MA : [s.n.], 2007. Dostupné online. ISBN 978-0-8176-4393-5.  
  • TESCHL, Gerald. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Svazek 140. Providence, RI : American Mathematical Society, 2012. (Graduate Studies in Mathematics) Dostupné online. ISBN 978-0-8218-8328-0.  

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

Související články[editovat | editovat zdroj]

Podrobnější informace o separaci proměnných: