Sférické harmonické funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Sférické harmonické funkce jsou ortogonální řešení úhlové části Laplaceovy rovnice vyjádřená ve sférických souřadnicích. Mají využití v mnoha oblastech matematiky a fyziky - např. jsou vhodné pro snadné vyjádření multipólového rozvoje v elektrostatice, pro řešení Schrödingerovy rovnice pro atom vodíku, pro velmi dobrou aproximaci gravitačního pole Země v její blízkosti či pro analýzu reliktního záření.

Úvod[editovat | editovat zdroj]

Sloupce: l=0 do 4
Řádky: m=0 do ±4
Dvě neimaginární sférické harmoniky, které jsou lineární kombinací Yl,m a Yl,-m jsou shodné, ale navzájem otočené o 90 stupňů kolem osy z.

Laplaceova rovnice ve sférických souřadnicích je:

{1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
  + {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
  + {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0

(viz sférická soustava souřadnic).

Separace proměnných vede k řešení vyjádřitelnému v goniometických funkcích a Legendrových polynomech.

Obecné řešení, které je konečné s r jdoucím k nekonečnu je lineární kombinací funkcí ve tvaru

 r^{-1-\ell} \cos (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} )

a

 r^{-1-\ell} \sin (m \varphi) P_\ell^m (\cos{\theta} )

kde P_\ell^m jsou přidružené Legendrovy polynomy s celočíselnými parametry \ell \ge 0 a m od 0 do \ell.

Jinými slovy řešení s celočíselnými parametry \ell \ge 0 a m od - \ell do \ell lze psát jako lineární kombinaci:

 U_{\ell,m}(r,\theta , \varphi ) = r^{-1-\ell} Y_\ell^m( \theta , \varphi )

kde funkce Y jsou sférické harmonické funkce s parametry l, m, které lze psát jako:

 Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \cdot e^{i m \varphi } \cdot P_\ell^m ( \cos{\theta} )

Sférické harmoniky splňují normalizační podmínku (δaa = 1 a δab = 0 pokud a ≠ b)

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^mY_{\ell'}^{m'*}\,\mathrm{d}\Omega=\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'},\quad\quad \mathrm{d}\Omega=\sin\theta\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta

platí pro ně

Y_{\ell}^{-m}( \theta , \varphi )=\left(-1\right)^m Y_{\ell}^{m*}( \theta , \varphi )

a splňují relace úplnosti

\sum_{\ell=0}^{\infty}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell}^{m}( \theta , \varphi ) Y_{\ell}^{m*}( \theta ', \varphi ')
= \delta\left(\cos\theta-\cos\theta'\right)\delta\left(\varphi-\varphi'\right),

kde δ(x) je Diracova delta funkce.

Y1 Legendre Y1 xy.png Legendre Y1 polaire.png
Y2 Legendre Y2 xy.png Legendre Y2 polaire.png
Y3 Legendre Y3 xy.png Legendre Y3 polaire.png

Alternativní sadu sférických harmonik bez imaginární části získáme jako

Y_\ell^0\quad\quad \mbox{ pro }\ 0\le\ell\le\infin

a

{1\over\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m+Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad 
\mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell

a

{1\over i\sqrt2}\left((-1)^mY_\ell^m-Y_\ell^{-m}\right)\quad\quad 
\mbox{ pro } \ 0\le\ell\le\infin,\ 1\le m\le \ell

Sférické harmoniky vyjádřené v kartézských souřadnicích vyjádříme dosazením

\cos\theta={z\over r},\qquad e^{\pm ni\varphi}\cdot\sin^n\theta={(x\pm iy)^n\over r^n},\qquad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}.

Prvních několik sférických harmonik[editovat | editovat zdroj]

Zde jsou první sférické harmoniky:

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}


Y_{1}^{-1}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x-iy)\over r}
Y_{1}^{0}(x)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot\cos\theta\quad={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\cdot{z\over r}
Y_{1}^{1}(x)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\quad={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\cdot{(x+iy)\over r}


Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta
Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{-i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta
Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\cdot(3\cos^{2}\theta-1)
Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{i\varphi}\cdot\sin\theta\cdot\cos\theta
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\cdot e^{2i\varphi}\cdot\sin^{2}\theta


Y_{3}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{7\over \pi}\cdot(5\cos^{3}\theta-3\cos\theta)

Související články[editovat | editovat zdroj]

Tabulka sférických harmonických funkcí