Diferenciál (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Diferenciál v matematice vyjadřuje závislost změny hodnoty funkce na malé změně jejího argumentu. Tuto závislost aproximuje jako přímou úměrnost v okolí zvoleného bodu. Pro funkce více proměnných se používá totální diferenciál. Diferenciály se hojně využívají při práci s diferenciálními rovnicemi.

Diferenciál \mathrm{d}y funkce y = f(x) v bodě x při změně argumentu \mathrm{d}x je součin

\mathrm{d}y = f'(x)\, \mathrm{d}x,

kde f'(x) je derivace funkce f v bodě x, přičemž pro existenci diferenciálu je nutná (a postačující) existence této derivace.

Použití k aproximaci funkce[editovat | editovat zdroj]

S použitím diferenciálu lze hodnotu funkce y = f(x) v okolí bodu x vyjádřit vztahem

f(x + \mathrm{d}x) = y + \mathrm{d}y + \varepsilon,

kde

y = f(x) je hodnota funkce f v bodě x,
\mathrm{d}y = f'(x)\, \mathrm{d}x je diferenciál funkce f v bodě x při změně argumentu \mathrm{d}x,
\varepsilon je chyba aproximace, která je pro malé \mathrm{d}x velmi malá:
\lim_{\mathrm{d}x \to 0}\frac{\varepsilon}{\mathrm{d}x} = 0

Související články[editovat | editovat zdroj]