Aproximace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Aproximace (z lat. ad a proximus, blízký) znamená přiblížení; odtud přídavné jméno aproximativní, přibližný.

Obsah

1 V matematice a geometrii
2 Související články

[editovat] V matematice a geometrii

V matematice znamená aproximace přibližnou hodnotu čísla nebo jednu z možných hodnot čísla, nebo také nahrazení čísla vhodným číslem blízkým.

V geometrii se jedná o proložení několika bodů křivkou, přičemž není nutné, aby aproximační křivka přesně procházela zadanými body. (Na rozdíl od interpolace.)

[editovat] Důvody aproximace

příliš náročný výpočet funkce (složitý funkční předpis, implicitně zadané funkce, …)
potřeba výpočtu dalších charakteristických funkcí (derivace, integrál, …)

[editovat] Příklad

Např. Ludolfovo číslo lze za určitých okolností nahradit (aproximovat) hodnotou ²²⁄₇. Aproximace čísla $π$ je tedy ²²⁄₇.

[editovat] Přibližné vztahy využívající Taylorova rozvoje

Podrobnější informace naleznete v článku Taylorova řada.

Mnohé aproximace jsou založeny na rozvoji dané funkce v Taylorovu řadu a následném zanedbání vyšších členů rozvoje. Přesnost aproximace pak souvisí s počtem členů, které jsou použity.

Mezi často používané přibližné vztahy patří např.

$\mathrm{e}^{\pm x} \approx 1 \pm x$ (pro $x$ blízké nule, příklad v článku Linearizace)
$\ln(1 \pm x) \approx \pm x$ (pro $x$ blízké nule)
Je-li absolutní hodnota proměnných $x 1, x 2,..., x n, y 1, y 2,..., y n$ blízká nule, pak

$\frac{(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n)}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n$

Speciálními případy jsou pak vztahy

$(1\pm x_1)(1\pm x_2)\cdots(1\pm x_n) \approx 1\pm x_1 \pm x_2 \pm \cdots \pm x_n$

$\frac{1}{(1\pm y_1)(1\pm y_2)\cdots(1\pm y_n)} \approx 1 \mp y_1 \mp y_2 \mp \cdots \mp y_n$

Z předchozích vztahů lze pro $n$ -tou mocninu získat vztah (stejný vztah lze získat z binomické věty zanedbáním členů obsahujících vyšší mocniny x)

${(1\pm x)}^n \approx 1 \pm nx$

Pro $n$ -tou odmocninu lze nalézt přibližný výraz

$\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac{x}{n}$

Pro dvě kladná a blízká čísla $x$ a $y$ taková, že čtverec jejich rozdílu $(x - y) 2$ lze zanedbat proti čtverci jejich součtu $(x + y) 2$ , lze psát

${(x+y)}^2 \approx 4xy$

$\sqrt{xy} \approx \frac{x+y}{2}$

[editovat] Přibližné výrazy goniometrických funkcí

Pro malý úhel $\alpha\neq 0$ a libovolný úhel $β$ lze pro goniometrické funkce použít následující přibližné vztahy.

$\sin\alpha \approx \alpha$

s relativní chybou menší než $0,1%$ pro $|\alpha|<0,08\,\mbox{rad}$ neboli $4,5^\circ$ . Přesnějším přiblížením je

$\sin\alpha\approx\alpha - \frac{\alpha^3}{6}$

s relativní chybou menší než $10 - 5$ pro $|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}$ neboli $14^\circ$ .

$\cos\alpha \approx 1$

s relativní chybou menší než $0,1%$ pro $|\alpha|<0,04\,\mbox{rad}$ neboli $2,3^\circ$ . Přesnějším přiblížením je

$\cos\alpha\approx 1 - \frac{\alpha^2}{2}$

s relativní chybou menší než $10 - 4$ pro $|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}$ neboli $14^\circ$ .

$\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha$

s relativní chybou menší než $0,1%$ pro $|\alpha|<0,06\,\mbox{rad}$ neboli $3,4^\circ$ . Přesnějším přiblížením je

$\operatorname{tg}\alpha\approx\alpha+\frac{\alpha^3}{3}$

s relativní chybou menší než $5\cdot{10}^{-4}$ pro $|\alpha|<0,25\,\mbox{rad}$ neboli $14^\circ$ .

$\alpha\sin\alpha\approx 1$

s relativní chybou menší než $0,1%$ pro $|\alpha|<0,017\,\mbox{rad}$ neboli $1,008^\circ$ .

$\sin(\beta\pm\alpha)\approx\sin\beta\pm\alpha\cos\beta$
$\cos(\beta\pm\alpha)\approx\cos\beta\mp\alpha\sin\beta$
$\operatorname{tg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{tg}\beta\pm\alpha\cos{2\beta}$
$\operatorname{cotg}(\beta\pm\alpha)\approx\operatorname{cotg}\beta\mp\alpha\sin{2\beta}$