Fyzikální rozměr veličiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Fyzikální rozměr veličiny nebo zkráceně rozměr veličiny je formální vyjádření závislosti měřené fyzikální veličiny na veličinách základních, odpovídajících základním jednotkám. Zpravidla se jedná o součin celočíselných mocnin rozměrů základních veličin, v případě některých veličinových soustav mohou být mocniny polocelé (např. soustava CGS).

Rozměr veličiny X se korektně značí jako dim X, pro zjednodušení se však často používá stejný zápis jako pro jednotky, tedy značka veličiny v hranatých závorkách: [X].

Rozměry veličin lze využít k rozměrové kontrole správnosti složitějších fyzikálních rovnic.

Stanovení rozměru odvozené veličiny a rozměrová rovnice[editovat | editovat zdroj]

Rozměr odvozené veličiny se stanoví z definičního vztahu dané veličiny.

Veličiny koherentních soustav jsou zpravidla definovány jako součiny a podíly základních veličin. V definičním vztahu se nahradí značky veličin nahradí symboly rozměrů a ty se rozepíší do součinu mocnin rozměrů základních veličin (majících obvykle specifické značky). Výsledný vztah se pak převede do tvaru součinu mocnin rozměrů základních veličin podle zásad pro úpravu součinů a podílů mocnin. Pokud v definičním vztahu figuruje číselný koeficient, nahradí se (stejně jako každá bezrozměrná veličina) jednotkou, efektivně se tedy vynechá. Sčítat a odečítat lze pouze veličiny stejného rozměru - proto je přirozené, že každý z členů musí mít stejný rozměr (a pro definici rozměru odvozené veličiny postačuje ponechání pouze jediného členu). Derivace v definičním vztahu se bere jako naznačené dělení infinitezimálních přírůstků – nahradí se proto prostým podílem, integrál jako jako nekonečný součet součinů integrované veličiny a infinitezimálního přírůstku integrační proměnné – nahradí se tedy součinem obou rozměrů. Vyskytuje-li se v definičním vztahu exponenciální, logaritmická nebo goniometrická funkce, její hodnota se bere jako bezrozměrná; taktéž její argument musí být bezrozměrný.

Ke každé veličinové rovnici lze napsat podle stejných zásad odpovídající rovnici rozměrovou a rozepsat ji až na vztahy rozměrů základních veličin. Rozměrovou rovnici lze využít k rozměrové kontrole správnosti původní rovnice - obě strany rovnice musí mít stejný rozměr, jakož i všechny členy naznačených součtů a rozdílů musí mít shodný rozměr. Protože argumenty exponenciálních, logaritmických a goniometrických funkcí musí být bezrozměrné, přibyde ke každé takové funkci ještě kontrolní rozměrová rovnice pro její argument.

Přehled symbolů základních veličin soustavy SI[editovat | editovat zdroj]

Veličina Jednotka SI
Název Symbol Název Značka
délka L metr m
hmotnost M kilogram kg
čas T sekunda s
elektrický proud I ampér A
teplota Θ kelvin K
látkové množství N mol mol
svítivost J kandela cd

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Příklad stanovení rozměru veličiny[editovat | editovat zdroj]

Jako příklad použijeme veličinu práce W, která je definována jako součin síly F a dráhy s po níž působila, tedy

W = F·s.

Rozměr veličiny W, který označíme [W], dostaneme následujícím způsobem: Protože dráha s představuje základní veličinu (délku), dosadíme za s příslušný symbol, tedy L. Síla však není základní veličinou, proto bude

[W] = [F]·L.

V dalším kroku použijeme definici síly

F = m·a,

kde m je hmotnost tělesa (tedy základní veličina, dosadíme M) a a je zrychlení, které mu síla F uděluje; pro rozměr [F] získáme vztah

[F] = M·[a].

Zpracujeme zrychlení podobným způsobem

a = dv / dt,

kde v je rychlost a t je čas, a získáme

[a] = [v] / T = [v]·T-1.

Konečně

v = ds / dt,

z čehož dostaneme

[v] = L / T = LT-1.

Zpětným dosazováním do předchozích rovnic a úpravami nakonec získáme fyzikální rozměr veličiny práce

[W] = L2MT-2.

Zpracujeme-li obdobným způsobem rovnici pro výpočet kinetické energie Ek

Ek = ½ m·v2,

zjistíme, že rozměr této veličiny je

[Ek] = L2MT-2.

Je tedy stejný, jako práce. Tato skutečnost nepřekvapuje, protože kinetická energie má stejnou jednotku jako práce, a jednotkou je dán i rozměr. Není však pravidlem, že veličiny stejného rozměru musí mít stejnou jednotku - stejný rozměr má i moment síly, je to však veličina s jiným fyzikálním charakterem, proto má i jinou jednotku - newton metr.

Příklady rozměrové kontroly veličinových rovnic[editovat | editovat zdroj]

  1. \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A} = Q (Gaussův zákon elektrostatiky)
    [D]·[A] = [Q]
    l. s. = L−2TA·L2 = TA
    p. s. = TA
  2. \left( \frac{\part U}{\part V} \right) _T = T\left( \frac{\part p}{\part T} \right) _V - p (vyjádření objemové derivace vnitřní energie pomocí tlaku a teploty)
    [U]/[V] = [T]·([p]/[T]) = [p]
    l. s. = L2MT−2 / L3 = L−1MT−2
    (prostřední člen po vykrácením rozměru totožný s pravou stranou)
    p. s. = L−1MT−2
  3. y = r\mathrm{e} ^{-bt}\sin (\omega t + \varphi) (výchylka tlumených kmitů)
    1. [y] = [r]
      L = L
    2. [b]·[t] = 1 (rozměrová rovnice pro argument exponenciální funkce)
      T−1·T = 1
    3. [ω]·[t] = [φ] = 1 (rozměrová rovnice pro argument goniometrické funkce)
      T−1·T = 1 = 1

Související články[editovat | editovat zdroj]