Moment síly

Moment síly je vektorová fyzikální veličina, která vyjadřuje míru otáčivého účinku síly.

Otáčivý účinek síly se vztahuje vzhledem k danému bodu nebo přímce. Bod, ke kterému se moment síly určuje, se nazývá momentovým bodem. Kolmá vzdálenost $p$ síly od její osy k bodu je tzv. rameno síly.

Bod, vůči němuž se určuje moment síly, nemusí být bodem ležícím na ose otáčení. Moment síly můžeme určit vzhledem k libovolnému bodu, a to i k bodům, které se nachází mimo zkoumané těleso.

Moment síly je definován jako součin síly a kolmé vzdálenosti osy síly od daného bodu. Velikost momentu síly tedy závisí na velikosti síly a na vzdálenosti od osy otáčení (čím dále, tím větší moment síly).

Směr vektoru momentu síly je kolmý na rovinu síly a polohového vektoru působiště, určuje se pravidlem pravé ruky: Zahnuté prsty pravé ruky ukazují směr otáčivého účinku síly (směr otáčení tělesa), vztyčený palec ukazuje směr momentu síly.

Značení

• Symbol veličiny: $\mathbf{M}$
• Odvozená jednotka SI: newton metr, značka jednotky: Nm
• Další jednotky: newton centimetr Ncm

Obrázek, který ukazuje vektory působící při otáčivém účinku síly

Výpočet

Nechť působiště síly $\mathbf{F}$ je vzhledem k libovolnému bodu $O$ určeno polohovým vektorem $\mathbf{r}$. Moment síly vzhledem k bodu $O$ je pak určen vztahem

$\bar{M} = \bar{r}\times\bar{F}$

Vektory $\mathbf{r}$ a $\mathbf{F}$ definují rovinu, k níž je výsledný vektor $\mathbf{M}$ kolmý. Směr vektoru $\mathbf{M}$ určuje směr osy otáčení (rotace). Tato osa prochází bodem $O$, ke kterému moment síly určujeme.

Pokud je $\alpha$ úhel mezi vektory $\mathbf{r}$ a $\mathbf{F}$, pak lze z předchozího vztahu získat velikost momentu jako

$M=Fr\sin\alpha$

Tento vztah lze chápat dvěma způsoby

• $M=r(F\sin\alpha)$

V tomto případě chápeme vztah jako součin délky průvodiče $r$ a složky síly $F_k=F\sin\alpha$ kolmé na tento průvodič. Složka $F_k$ má otáčivou schopnost, zatímco složka $F_r$, která je kolmá na $F_k$ a rovnoběžná s průvodičem $\mathbf{r}$, tuto schopnost nemá.

• $M=F(r\sin\alpha)$

V tomto případě lze vztah chápat jako součin síly o velikost $F$ a ramene síly $p=r\sin\alpha$, tedy

$M=Fp$.

Ramenem síly $p$ se rozumí kolmá vzdálenost vektorové přímky síly od bodu $O$ (tedy bodu, vůči němuž moment síly určujeme).

Moment obecné síly na obecné páce v rovině:

$M = F.r.(\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)$

Obecná síla na obecné páce v rovině

Vlastnosti

• Pokud určujeme moment síly vzhledem k bodu, je $\mathbf{M}$ kolmé k průvodiči $\mathbf{r}$ a současně k síle $\mathbf{F}$. V případě, že určujeme moment síly k ose, leží $\mathbf{M}$ ve zvolené ose.

• Moment síly vzhledem k ose se definuje jako průmět momentu síly vzhledem k bodu osy do této síly. Moment síly vzhledem k ose tedy leží ve zvolené ose. Působící síla tedy neurčuje směr momentu síly (jako v případě momentu vzhledem k bodu), ale pouze velikost tohoto momentu.

• Při řešení se postupuje tak, že působištěm síly se proloží rovina kolmá k ose, ke které se určuje moment síly. Vektor síly $\mathbf{F}$ je pak promítnut do této roviny, čímž se získá složka $\mathbf{F}^\prime$, která je odpovědná za otáčení. Průsečík osy, k níž se určuje moment síly, a roviny, v níž leží $\mathbf{F}^\prime$, je bodem, k němuž se určí moment síly.

• Působí-li ve společném působišti několik sil $\mathbf{F}_i$, je jejich celkový účinek dán výslednicí sil $\mathbf{R} = \mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{F}_i$ a výsledný moment je dán vztahem $\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{R} = \mathbf{r}\times(\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2+\cdots+\mathbf{F}_n)$.

Z distributivního zákona pro vektorový součin pak dostaneme

$\mathbf{M} = (\mathbf{r}\times\mathbf{F}_1)+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_2)+\cdots+(\mathbf{r}\times\mathbf{F}_n) = \mathbf{M}_1+\mathbf{M}_2+\cdots+\mathbf{M}_n = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i$

Výsledný moment sil působících v jednom bodě vzhledem k libovolnému bodu je tedy roven vektorovému součtu momentů všech složek k danému bodu.

Související články

• Mechanika
• Mechanika tuhého tělesa
• Momentová věta
• Krouticí moment
• Impuls momentu síly
• Dvojice sil