Gaussův zákon elektrostatiky

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi tokem elektrické intenzity a elektrickým nábojem.

Formulace zákona[editovat | editovat zdroj]

Gaussův zákon lze vyjádřit následující formulací:

Tok elektrické intenzity \Phi_E libovolnou uzavřenou plochou (Gaussovou plochou) je přímo úměrný elektrickému náboji Q nacházejícímu se uvnitř této plochy. Konstantou úměrnosti je převrácená hodnota permitivity vakua \varepsilon_0.

Uvedené tvrzení bývá zapisováno v matematické podobě jako

\Phi_E = \frac {Q}{\varepsilon_0}

Vyjádřením toku intenzity elektrického pole lze získat také vztah

\Phi = \oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Toto vyjádření Gaussova zákona bývá také označováno jako Gaussův zákon elektrostatiky v integrálním tvaru.


Gaussův zákon lze formulovat nejen pro soustavu bodových nábojů, ale také pro spojitě rozložené náboje.

Pokud uvažujeme uzavřenou plochu S libovolného tvaru, která tvoří hranici tělesa o objemu V, které obsahuje celkový náboj Q, který může být tvořen bodovými i spojitě rozloženými elektrickými náboji, pak pro tok intenzity elektrostatického pole plochou S platí vztah

\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Pokud se uvnitř plochy S nachází pouze objemově rozložené náboje, lze celkový náboj určit ze vztahu Q=\int_V\rho(\mathbf{r})\mathrm{d}V, což v kombinaci s předchozím vztahem dá výraz

\oint_S \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V

Úpravou levé strany pomocí Gaussovy věty dostaneme

\int_V\operatorname{div}\,\mathbf{E}\mathrm{d}V = \frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho\mathrm{d}V

Aby tato rovnice platila pro libovolně zvolený objem V, musí se integrované funkce rovnat v každém bodě, tzn.

\operatorname{div}\,\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{\rho(\mathbf{r})}{\varepsilon_0}

Tento vztah je pouze jiným vyjádřením Gaussova zákona. Nevztahuje se však k ploše nebo objemu, ale pouze k danému bodu prostoru, a je označován jako Gaussův zákon elektrostatiky v diferenciálním tvaru.

Gaussův zákon v dielektriku[editovat | editovat zdroj]

V dielektriku se Gaussův zákon vyjadřuje pomocí elektrické indukce \mathbf{D} v integrálním tvaru jako

\oint_S\mathbf{D}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = Q

nebo v diferenciálním tvaru jako

\operatorname{div}\,\mathbf{D} = \rho

Počet siločar[editovat | editovat zdroj]

Často se lze setkat s jinou formulací Gaussova zákona elektrostatiky:

Celkový počet siločar procházejících uzavřenou plochou libovolného tvaru, která v elektrostatickém poli uzavírá elektrický náboj Q, je roven podílu velikosti náboje Q uvnitř této plochy a permitivity vakua \varepsilon_0, přičemž nezáleží na rozložení elektrického náboje.


Teoreticky je možné vést každým bodem elektrostatického pole nějakou siločáru. Ukazuje se však výhodnější omezit počet siločar, aby souvisel s velikostí toku intenzity elektrostatického pole vztahem

N = \Phi,

kde N označuje počet siločar.

V takovém případě se Gaussův zákon zapisuje ve tvaru

N = \frac{Q}{\varepsilon_0}

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

E = \frac {\Phi_E}{4 \pi r^2} = \frac {1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac {Q}{r^2}

Stejný vztah lze však získat také z Coulombova zákona. Gaussův zákon elektrostatiky je ekvivalentní s Coulombovým zákonem.

  • Uvnitř nabitého vodivého tělesa je nulová elektrická intenzita. Protože elektrický náboj se u vodiče v ustáleném stavu rozmístí vždy na povrchu tělesa, pak podle Gaussova zákona musí být tok intenzity libovolnou plochou uvnitř tělesa nulový, a tím musí být v libovolném bodě uvnitř tělesa také nulová elektrická intenzita. Této skutečnosti využívá např. van de Graaffův generátor.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • SEDLÁK, Bedřich; ŠTOLL, Ivan. Elektřina a magnetismus. [s.l.] : [s.n.]. 650 s. ISBN 80-200-1004-1.