Koule

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Tento článek pojednává o prostorovém tělese. Další významy jsou uvedeny v článku Koule (rozcestník).

Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů (trojrozměrného euklidovského) prostoru, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je nejvýše rovna zadanému poloměru. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice obvykle rozlišují, na rozdíl od běžné řeči.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší obsah a naopak, mezi plochami s daným obsahem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě kapek a bublin, jejichž povrch je minimalizován povrchovým napětím.
  • Koule je rotační těleso, může vzniknout otáčením kruhu podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela elipsa, vznikl by rotační elipsoid.
  • Válec opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule.
  • Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí sférické geometrie.
  • Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako soustředné (koncentrické) koule.

Odvození vzorce pro povrch a objem koule[editovat | editovat zdroj]

Povrch[editovat | editovat zdroj]

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a,b> a má zde spojitou derivaci f'(x). Potom pro obsah rotační plochy vzniklé rotací kolem osy x platí:
S=2\pi \int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx
Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:
x^2+y^2=r^2 >>> vyjádříme y:
y=\sqrt{r^2-x^2}
A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.
S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{1+(-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}})^2}dx
Po úpravách dostáváme: toto nie je správny vzorec
S=2\pi \int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\cdot\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx
S=2\pi \int_{-r}^{r}rdx - integrujeme:
S=2\pi [rx]_{-r}^{r} - odečítáme dolní hodnotu od horní:
S=2\pi r^2-(-2\pi r^2)=4\pi r^2

Objem[editovat | editovat zdroj]

Nechť je funkce f(x) spojitá a nezáporná na intervalu <a;b> a nechť T je těleso v \mathbb{R}^3, které vznikne rotací grafu f(x) kolem osy x. Potom pro objem tělesa T je dán vzorcem:
V=\pi \int_{a}^{b}(f(x))^2dx
Obecná rovnice kružnice se středem v počátku je:
x^2+y^2=r^2 >>> vyjádříme y:
y=\sqrt{r^2-x^2}
A dosadíme do vzorce výše - meze od -r po r.
V=\pi \int_{-r}^{r}(\sqrt{r^2-x^2})^2dx
V=\pi \int_{-r}^{r}r^2-x^2dx - integrujeme
V=\pi [r^2x-\frac{x^3}{3}]_{-r}^{r} - odečteme dolní hodnotu od horní:
V=\pi [r^3-\frac{r^3}{3}]-\pi [-r^3+\frac{r^3}{3}]
V=\frac{4}{3}\pi r^3

Analytické vyjádření[editovat | editovat zdroj]

V analytické geometrii lze kouli se středem [x0, y0, z0] a poloměrem r definovat jako množinu bodů [x, y, z], které splňují rovnici

{(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 \leq r^2.

Parametrické vyjádření[editovat | editovat zdroj]

Kulovou plochu se středem [x0, y0, z0] a poloměrem r lze parametrizovat následujícími rovnicemi:

x = x_0 + r \cos\varphi \sin\theta
y = y_0 + r \sin\varphi \sin\theta
z = z_0 + r \cos\theta \,

přičemž 0<\varphi\leq 2 \pi, 0\leq\theta\leq\pi.

Rovnice kulové plochy[editovat | editovat zdroj]

Obecná rovnice kulové plochy je

x^2+y^2+z^2+mx+ny+pz+q=0

Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z obecnější rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny xy, xz, yz a koeficienty u druhých mocnin jsou stejné.

Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru

{\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q

Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem \left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right] a poloměrem r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}. Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o reálné kulové ploše. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod prostoru (jde o tzv. imaginární kulovou plochu). Je-li výraz pod odmocninou nulový, vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.

Zobecnění[editovat | editovat zdroj]

Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu kruhu (resp. kružnice). Obdoba koule v ještě vyšších dimenzích je tzv. hyperkoule.

V metrickém prostoru X je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je ostře menší než poloměr r, tedy U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)<r\}. Otevřená koule je pochopitelně otevřená množina. Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je rovna poloměru r, tedy S(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)=r\}. Sféra je uzavřená množina.

V topologii je koule taková množina, která je homeomorfní běžné eukleidovské kouli.

Související články[editovat | editovat zdroj]


Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]

  • Slovníkové heslo koule ve Wikislovníku