Analytická geometrie

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Analytická geometrie (také souřadnicová geometrie nebo kartézská geometrie) je část geometrie, která zkoumá geometrické útvary v euklidovské geometrii pomocí algebraických a analytických metod.

V analytické geometrii jsou geometrické útvary v prostoru vyjadřovány čísly a rovnicemi ve zvolených souřadnicových soustavách. Mnohé problémy analytické geometrie jsou úzce svázány s lineární algebrou.


Historie[editovat | editovat zdroj]

Za zakladatele analytické geometrie je považován René Descartes, který publikoval základní metody v roce 1637 ve svém spisu La Géométrie.

Analytická geometrie v Euklidovském prostoru[editovat | editovat zdroj]

V euklidovském prostoru obvykle máme danou soustavu souřadnic \{x_1,x_2,\ldots,x_n\} bodů i vektorů. Velikost vektoru (v_1, v_2,\ldots,v_n) je \sqrt{v_1^2+\ldots+v_n^2} a skalární součin vektorů (v_1, v_2,\ldots, v_n)\cdot (w_1,\ldots,w_n)=v_1 w_1 + \ldots v_n w_n. Přímky jsou dány jako množiny \{a+t\mathbf{v}; \,t\in\R\} kde a je bod a v vektor. V dvourozměrném prostoru je navíc definována kružnice je množina bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od jednoho bodu (x_0, y_0) (středu kružnice). Její rovnice je (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2. Takto popsaný prostor, ve kterém můžeme definovat přímky, body, úhly a vzdálenosti pomocí rovnic a souřadnic, tvoří model pro euklidovské geometrie.

Vzájemná poloha geometrických útvarů[editovat | editovat zdroj]

Vzájemnou polohu geometrických útvaru popsaných rovnicemi lze obvykle určit z vlastností těchto rovnic, resp. z (ne)existence jejich řešení.

Vzájemná poloha bodu a křivky[editovat | editovat zdroj]

Bod může ležet buď mimo křivku, nebo na ní.
Bod A leží na křivce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice křivky získáme rovnost.

A[x_1, \ldots, x_n], p(y_1, \ldots, y_n)=0, A \in p \Leftrightarrow p(x_1, \ldots, x_n)=0

Vzájemná poloha bodu a přímky[editovat | editovat zdroj]

Pokud bod leží na přímce, rozděluje ji takto na dvě polopřímky. Bod ležící mimo přímku s ní určuje jednu rovinu.
Obdobně jako u obecné křivky, bod A leží na přímce p pokud dosazením souřadnic bodu do rovnice přímky získáme rovnost.

A[x_1, \ldots, x_n], p: a_1 y_1+ \ldots + a_n y_n + d = 0 , A \in p \Leftrightarrow a_1 x_1+ \ldots + a_n x_n + d = 0

Leží-li bod mimo přímku, je možno určit jejich vzájemnou vzdálenost.

Vzájemná poloha bodu a kružnice[editovat | editovat zdroj]

Obecný bod může ležet

Vzájemnou polohu bodu a kružnice určuje tzv. mocnost m bodu ke kružnici. Máme-li kružnici určenou vztahem {(x-x_0)}^2+{(y-y_0)}^2=r^2, pak mocnost bodu [x^\prime,y^\prime] k této kružnici se určí jako

m = {(x^\prime-x_0)}^2+{(y^\prime-y_0)}^2-r^2

Pro m=0 leží bod na kružnici, pro m>0 leží bod vně kružnice a pro m<0 uvnitř kružnice.

Vzájemná poloha dvou přímek[editovat | editovat zdroj]

V rovině[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžky v rovině jsou přímky, které mají stejný směr a nemají žádný společný bod. Speciálním případem je totožnost. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom boděprůsečíku. Ten je tedy jejich jediným společným bodem.

Dvě přímky v rovině se dají popsat jako množina bodů x,y splňujících rovnice

y = k_1 x+q_1
y = k_2 x+q_2

Podmínka rovnoběžnosti je k_1 = k_2. Přímky jsou kolmé, pokud jejich směrnice k_1, k_2 splňují podmínku k_1 k_2+1=0.

Průsečík dvou přímek získáme řešením této soustavy, čímž dostaneme souřadnice průsečíku

x_P = \frac{q_1-q_2}{k_2-k_1}\quad y_P = \frac{q_1 k_2 - q_2 k_1}{k_2-k_1}

V třírozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Rovnoběžky v prostoru jsou přímky, které mají stejný směr. Speciálním případem jsou totožné přímky. Dále různoběžky jsou přímky, které se protínají právě v jednom bodě, tedy mají právě jeden společný bod. Mimoběžky jsou přímky, které neleží ve stejné rovině a proto se neprotínají i když mají různý směr.

Dvě přímky můžou být zadané rovnicemi

a_1 x+b_1 y+c_1 z+d_1=0,\quad a_2 x+b_2 y+c_2 z+d_2=0\quad.

a

a_3 x+b_3 y+c_3 z+d_3=0,\quad a_4 x+b_4 y+c_4 z+d_4=0\quad

(předpokládejme, že první i druhá dvojice rovnic opravdu určuje přímku a ne rovinu nebo prázdnou množinu). Tyto dvě přímky se protínají, pokud matice

A=\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\ a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \end{pmatrix}

je singulární. Přímky jsou totožné, pokud tato maticehodnost 2. Přímky jsou rovnoběžné, pokud matice tvořená prvními třema sloupci A má hodnost 2.

Vzájemná poloha dvou kružnic[editovat | editovat zdroj]

Jako vzájemná poloha dvou kružnic se v geometrii označuje počet průsečíků a poloha dvou kružnic. Tato poloha je závislá na velikosti poloměrů jednotlivých kružnic r_1, r_2 a vzdálenosti jejich středů s.

Vzájemné polohy dvou kružnic.

Kružnice

  • jsou soustředné, pokud s = 0 (viz kružnice k a k1)
    • pokud zároveň r_1 = r_2, pak jsou kružnice totožné a mají nekonečně mnoho společných bodů
    • v ostatních případech (r_1 \ne r_2) nemají společný bod.
  • nemají společný bod (menší kružnice leží celá uvnitř větší), pokud 0 < s < \left | r_1 - r_2 \right | (viz kružnice k a k2)
  • mají vnitřní dotyk, pokud s = \left | r_1 - r_2 \right | (viz kružnice k a k3)
  • se protínají (mají 2 společné průsečíky), pokud \left | r_1 - r_2 \right | < s < r_1 + r_2 (viz kružnice k a k4)
  • mají vnější dotyk, pokud s = r1 + r2 (viz kružnice k a k5)
  • nemají společný bod (leží vně), pokud s > r1 + r2 (viz kružnice k a k6)

Jsou-li kružnice zadány svými rovnicemi, lze jejich vzájemnou polohu určit řešením odpovídající soustavy rovnic.

Vzájemná poloha přímky a kružnice[editovat | editovat zdroj]

Vzájemná poloha přímky a kružnice.

Vzájemná poloha přímky a kružnice (ležící v téže rovině) závisí na vzdálenosti s středu kružnice od přímky a poloměru r.

  • s > r: přímka nemá s kružnicí žádný společný bod (tzv. vnější přímka kružnice nebo nesečna)
  • s = r: přímka se nazývá tečnou ke kružnici a má s ní 1 společný bod dotyku
  • s < r: přímka se nazývá sečna a má s kružnicí 2 společné body (průsečíky) a úsečka s krajními body v průsečících se nazývá tětiva (nejdelší tětiva je průměr)

Přímka tedy může kružnici protínat ve dvou, v jednom nebo v žádném bodě.

Mějme přímku zadanou směrnicovou rovnicí y=kx+q a kružnici se středem v počátku a rovnicí x^2+y^2=r^2, pak souřadnice průsečíků, které získáme řešením této soustavy rovnic, jsou

\left[-\frac{qk}{1+k^2}\pm \frac{1}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2},\; \frac{q}{1+k^2}\pm\frac{k}{1+k^2}\sqrt{r^2(1+k^2)-q^2}\right]

O poloze přímky vzhledem ke kružnici rozhoduje člen D=r^2(1+k^2)-q^2. Pro D>0 protíná přímka kružnici ve dvou různých bodech (přímka je sečnou kružnice). Pro D=0 mají přímka a kružnice společný právě jeden bod, tzn. přímka se kružnice pouze dotýká (přímka je tečnou kružnice). Pro D<0 přímka kružnici neprotíná v žádném bodě (jde o tzv. vnější přímku kružnice).

Vzájemná poloha dvou rovin v třírozměrném prostoru[editovat | editovat zdroj]

Dvě různé roviny \rho, \sigma v trojrozměrném prostoru, které mají společnou přímku p, nazýváme různoběžnými a značíme \rho\nparallel\sigma. Přímka p se nazývá průsečnice obou rovin \rho a \sigma.

Dvě různé roviny, které nemají v prostoru žádný společný bod anebo jsou identické (totožné), označujeme jako rovnoběžné.

Pokud jsou roviny popsány rovnicemi a_1 x + b_1 y + c_1 z +d_1 =0 a a_2 x + b_2 y + c_2 z +d_2 =0, pak se protínají, pokud tyto dvě rovnice mají společné řešení, jsou rovnoběžné pokud nemají řešení a jsou totožné, pokud druhá rovina je násobkem první rovnice.

Související články[editovat | editovat zdroj]