Sféra (matematika)

V matematice se slovem sféra označuje obvykle kulová plocha, tj. povrch koule, resp. prostor, který je povrchu koule (v různém smyslu) podobný. Sféra dimenze n se někdy značí n-sféra.

Definice

• V Euklidovské geometrii a v klasické analýze je n-rozměrná sféra poloměru r definována $S^n:=\{ x\in\R^{n+1}, \sum_i x_i^2=r^2\}$

• V topologii je n-rozměrná sféra topologický prostor homeomorfní výše uvedené euklidovské sféře. Ekvivalentně, sféra je jednobodová kompaktifikace prostoru $\R^n$. Pro $n=\infty$ se také definuje sféra $S^\infty$, která je v jistém smyslu limitou konečně rozměrných sfér.

Vlastnosti

• n-sféra je kompaktní, souvislá pro dimenzi n > 0 a pro n>1 také jednoduše souvislá množina.
• Obsah (dvourozměrné euklidovské) sféry je $4\pi r^2$, obecněji, objem (n-rozměrná míra) n-rozměrné sféry poloměru r je ${2\pi^\frac{n+1}{2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} r^{n}.$
• Eulerova charakteristika n-sféry je 2 pro n sudé a 0 pro n liché.
• Homologie a kohomologie n-sféry jsou netriviální pouze v dimenzi 0 a n.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 2-rozměrná varieta je homeomorfní 2-sféře.
• Libovolná jednoduše souvislá uzavřená 3-rozměrná hladká varieta je homeomorfní 3-sféře (slavná Poincarého hypotéza, jediný ze sedmi miléniových problémů, který byl zatím vyřešen).
• Jediné sféry, které mají strukturu Lieovy grupy jsou n-sféry pro n = 0, 1, 3 (jsou to sféry jednotkových reálných čísel, komplexních čísel a kvaternionů).
• Jediné sféry, které jsou úplně paralelizovatelné, jsou $S^0, S^1, S^3, S^7$ (paralelizovatelnost $S^7$ má souvislost s oktoniony).
• Na n-sféře existuje paralelní hladké nenulové vektorové pole právě když n je liché.
• 2-sféra může mít strukturu komplexní variety

Otevřené problémy

• Homotopie sféry nejsou obecně známy.
• Maximální počet nezávislých vektorových polí na n-sféře není obecně znám.
• Počet neizomorfních diferencovatelných struktur n-sféry není obecně znám.
• Není známo, zda 6-sféra připouští strukturu komplexní variety.