Homotopie

Homotopie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie.

Motivace[editovat | editovat zdroj]

Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť $X,$ $Y$ jsou topologické prostory a $f:X\to Y,g:X\to Y$ spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi $f$ a $g$ je spojité zobrazení $H:[0,1]\times X\to Y$ takové, že a $H(0,x)=f(x)$ a $H(1,x)=g(x)$ pro každé $x\in X$ , kde uvažujeme $[0,1]$ s topologií danou inkluzí $[0,1]\subseteq \mathbb {R}$ do $\mathbb {R}$ s metrickou topologií a na $[0,1]\times X$ uvažujeme součinovou topologii.

Pokud existuje homotopie mezi $f$ a $g,$ řekneme, že $f$ a $g$ jsou homotopická a píšeme $f\simeq g.$

Topologické prostory $X,Y$ nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení $f:X\to Y$ a $g:Y\to X$ , že $f\circ g$ je homotopické $id_{Y}$ a $g\circ f$ je homotopické $id_{X}$ .

Topologicky prostor $X$ nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky $a,b:[0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ v $\mathbb {R} ^{2}$ jsou homotopické. Homotopií je např. $H:[0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}$ dané formuli $H(s,t):=(1-t)f(s)+tg(s),t,s\in [0,1].$

2. Těžší je ověřit, že kružnice $a(s):=(\cos s,\sin s)$ a kružnice $b(s):=(2+\cos s,\sin s),s\in [0,2\pi ]$ v prostoru $\mathbb {R} ^{2}-\{(0,0)\}$ nejsou homotopické. Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.

3. Topologický prostor $\mathbb {R} ^{n}$ , $n\in \mathbb {N} _{0}$ je kontraktibilní.

4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.

Tvrzení[editovat | editovat zdroj]

Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. na množině všech topologických prostorů.

Poznámka[editovat | editovat zdroj]

Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.

Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.