Potenciálová jáma

Potenciálová jáma.

Jednorozměrná pravoúhlá potenciálová jáma.
Tečkovaně je uveden možný reálný potenciál a plnou modrou čárou je jeho aproximace pravoúhlou potenciálovou jámou.

Jako potenciálová jáma se ve fyzice označuje takové rozložení potenciálu, že jeho hodnota je v určité (omezené) oblasti nenulová, přičemž se předpokládá, že je (alespoň přibližně) konstantní, konečná a záporná, zatímco mimo tuto oblast je hodnota potenciálu nulová. Obvykle je vhodnější postupovat tak, že dno potenciálové jámy je považováno za nulovou hladinu potenciální energie a oblast mimo potenciálovou jámu má pak hodnotu V₀.

Potenciálová jáma bývá také označována jako potenciálová krabice. Tímto termínem však bývá obvykle označována potenciálová jáma ve třírozměrném prostoru (třírozměrná potenciálová jáma), zatímco jednorozměrný problém bývá obvykle označován jako potenciálová jáma (někdy se také hovoří o jednorozměrné potenciálové krabici).

V jednorozměrném případě lze potenciálovou jámu vyjádřit potenciálem

$V = \left\{\begin{matrix} V_0 & \mbox{ pro }x< 0\mbox{ a }x>a \\ 0 & \mbox{ pro }0<x<a\end{matrix}\right.$

Pokud je V₀ konečné, tzn. $V_0<\infty$, hovoří se o potenciálové jámě konečné hloubky (konečné potenciálové jámě nebo také potenciálové jámě konečné tuhosti). V případě, že V₀ je nekonečné, hovoří se o potenciálové jámě nekonečné hloubky (nekonečné potenciálové jámě)

Obdobným případem jako potenciálová jáma je tzv. potenciálová bariéra, kdy sledovaná oblast je lokálním maximem.

Klasická mechanika

V klasické mechanice je pohyb částic povolen pouze v oblasti, kde energie E částice je menší než hodnota potenciálu.

Částice s E < V₀ se tedy může nacházet pouze v oblasti 0 < x < a. Mimo oblast 0 < x < a taková částice nemůže vstoupit. V klasické mechanice se tedy takové částice nemohou nacházet v oblasti x < 0 nebo x > a.

Částice s E > V₀ se mohou pohybovat i mimo oblast 0 < x < a a mohou tedy dostat ven z potenciálové jámy. Mimo oblast 0 < x < a však bude její kinetická energie rovna rozdílu E − V₀. Rychlost pohybu klasické částice mimo oblast 0 < x < a tedy závisí na rozdílu E − V₀.

(Obrazně si toto lze představit na modelu kuličky s jamkou a plynového balónku. Pokud cvrnkneme kuličku směrem přes jamku, ta se usadí na jejím dně a nevyjede ven! Pokud vyšleme směrem přes jamku plynový balonek, ten přeletí, aniž by byl jamkou ovlivněn. - Toto berte jako pomůcku pro představu.)

Kvantová mechanika

V kvantové mechanice se vlastnosti částice v potenciálové jámě určí řešením odpovídající Schrödingerovy rovnice.

Stacionární Schrödingerovu rovnici vyjádříme zvlášť pro oblast x < 0, oblast 0 < x < a a pro oblast x > a. V bodech x = 0 a x = a je přitom požadováno, aby vlnová funkce byla spojitá včetně své první derivace.

Nekonečně hluboká potenciálová jáma

Nekonečně hluboká potenciálová jáma.

Uvažujme jednorozměrnou nekonečně hlubokou potenciálovou jámu. Nekonečně hluboká potenciálová jáma je popsána potenciálem, který můžeme pro $|x|\le a$ položit V(x) = 0, a pro | x | > a pak $V(x)=\infty$. Síla, která působí na částici při pokusu o přechod z oblasti $|x|\le a$ do oblasti | x | > a je nekonečně velká, tzn. částice nemůže proniknout do oblasti | x | > a. Vzhledem k tomu, že potenciálová jáma je nekonečně hluboká, lze hranice oblasti, tzn. | x | = a, považovat za neproniknutelné. Také lze říci, že existence částice vně potenciálové jámy není možná, neboť vzhledem k nekonečné velikosti potenciálu by v oblasti | x | > a musela být energie částice nekonečně velká.

Poněvadž se částice nemůže vyskytovat vně potenciálové jámy, můžeme v oblasti | x | > a položit také její vlnovou funkci ψ = 0. Hustota pravděpodobnosti výskytu částice v této oblasti pak bude také nulová.

Uvnitř potenciálové jámy lze vlnovou funkci ψ určit ze Schrödingerovy rovnice

$\frac{\part^2\psi}{\part x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}E\psi = 0$

Lze nalézt dvě řešení této rovnice ve tvaru

$\psi = A\cos\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x$

$\psi = B\sin\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x$

Na hranici potenciálové jámy, tedy pro | x | = a, musí navíc platit podmínka ψ = 0.

Z prvního řešení tak dostáváme podmínku

$\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = (2n^\prime - 1)\frac{\pi}{2}$,

kde $n^\prime=1,2,3,...$. Z této podmínky lze vyjádřit povolené energie částice

$E_{n^\prime} = \frac{{(2n^\prime -1)}^2\pi^2\hbar^2}{2m2^2a^2}$

Z druhého řešení dostáváme podmínku

$\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = n^\prime\pi = 2n^\prime\frac{\pi}{2}$,

kde $n^\prime =1,2,3,...$. Z této podmínky lze vyjádřit povolené energie částice

$E_{n^\prime} = \frac{{n^\prime}^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

Povolené energetické hladiny vyhovující jedné nebo druhé podmínce lze vyjádřit jedním vztahem

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{8ma^2}$,

kde n = 1,2,3,... představuje kvantové číslo určující danou energetickou hladinu, které bylo zavedeno jako

$n = \left\{\begin{matrix} 2n^\prime-1 & \mbox{ kde }n^\prime=1,2,3,... & \to & n = 1,3,5,... \\ 2n^\prime & \mbox{ kde }n^\prime =1,2,3,... & \to & n=2,4,6,... \end{matrix}\right.$

Je zajímavé, že nejnižší energetický stav, který odpovídá n = 1 není nulový, tzn. pro částici v základním stavu platí $E\ne 0$. Stav s E = 0 není pro konečnou šířku potenciálové jámy možný, neboť pro n = 0 bychom dostali ψ = 0, což je řešení, které nemá fyzikální význam. Energetické spektrum je diskrétní a nedegenerované.

S rostoucím n se vzdálenosti mezi jednotlivými energetickými hladinami zmenšují a systém se postupně blíží klasickému případu, kdy energie nejsou kvantovány a jsou spojité.

Pro lichá n lze vlnovou funkci vyjádřit jako

$\psi_n = A\cos\frac{n\pi x}{2a}$

Pro sudá n pak dostaneme vlnovou funkce

$\psi_n = B\sin\frac{n\pi x}{2a}$

Tato řešení s uvedenými povolenými energiemi představují stacionární stavy, tedy stavy, kdy se hodnoty fyzikálních veličin nevyvíjejí v čase. Tato řešení tedy neodpovídají řešením známým z klasické fyziky, kdy se hmotný bod v potenciálové jámě pohybuje tak, že se uvnitř jámy pohybuje volně a u stěn se pružně odráží, přičemž se mění jeho hybnost z p na − p.

Vzhledem k tomu, že částice se v potenciálové jámě určitě bude vyskytovat, tzn. pravděpodobnost jejího výskytu je pro $|x|\le a$ rovna jedné, můžeme určit koeficienty A a B, čímž získáme normované funkce, tzn.

$\int_{-\infty}^\infty {|\psi_n|}^2\mathrm{d}x = \int_{-a}^a {|\psi_n|}^2\mathrm{d}x =$

$= \left\{\begin{matrix} A^2\int_{-a}^a \cos^2\frac{n\pi x}{2a}\mathrm{d}x & = & aA^2 & = & 1 \\ B^2 \int_{-a}^a \sin^2\frac{n\pi x}{2a}\mathrm{d}x & = & aB^2 & = & 1 \end{matrix}\right.$

Lze tedy položit $A=B=\sqrt{\frac{1}{a}}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\alpha}$, kde α je libovolné reálné číslo. Člen e^iα je tzv. fázový faktor a obvykle se volí roven jedné. Vlnová funkce je tedy určena jednoznačně až na fázový faktor.

Potenciálová jáma konečné hloubky

Uvažujme jednorozměrnou potenciálovou jámu, která je popsána potenciální energií, kterou lze pro $|x|\le a$ vyjádřit jako V(x) = 0, a pro | x | > a pak V(x) = V, kde V je konstanta a má konečnou hodnotu.

Nečasovou Schrödingerovu rovnici pro vlnovou funkci ψ zapíšeme ve tvaru

$\frac{\part^2\psi}{\part x^2} + \frac{2m}{\hbar^2}(E-V(x))\psi = 0$,

kde V(x) je nulové uvnitř potenciálové jámy, zatímco vně potenciálové jámy je rovno konstantě V.

Charakter řešení se liší podle toho, zda celková energie částice E je větší nebo menší než hodnota V.

Případ E<V

Je-li energie částice E menší než potenciální energie V, tzn. E < V, pak se podle klasické mechaniky může částice pohybovat pouze uvnitř potenciálové jámy, tzn. v oblasti | x | < a. V kvantové mechanice můžeme v takovém případě očekávat, že energie E částice bude nabývat diskrétních hodnot a že částici bude možné nalézt také vně potenciálové jámy, což jsou čistě kvantové jevy, které v klasické mechanice nejsou pozorovány.

V tomto případě lze uvnitř potenciálové jámy nalézt dvě řešení rovnice Schrödingerovy rovnice ve tvaru

$\psi = A\cos\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x$

$\psi = B\sin\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x$

Vně potenciálové jámy v oblasti x > a lze řešení vyjádřit jako

$\psi = C\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}x}$

$\psi = D\mathrm{e}^{\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}x}$

Abychom však mohli vlnovou funkci ψ normovat, musí v nekonečnu klesat k nule, což poslední řešení nesplňuje. Toto řešení vyloučíme tím, že položíme D = 0. Vně potenciálové jámy je tedy řešení popsáno pouze vlnovou funkcí s parametrem C.

Podobně můžeme postupovat v oblasti x < − a, čímž získáme řešení

$\psi = \pm C\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}|x|}$

Toto řešení umožňuje vyjádřit celkovou vlnovou funkci s kladnou i zápornou paritou. Pro řešení s kladnou paritou užijeme znaménko + a budou se v něm vyskytova pouze koeficienty A,C. Pro řešení se zápornou paritou použijeme znaménko − a bude ovbsahovat pouze koeficienty B,C.

Na hranicích potenciálové jámy musí být výsledná vlnová funkce spojitá, tzn. hodnota vnitřní i vnější funkce musí být stejná, ale také hodnoty prvních derivací vnitřního a vnějšího řešení se musí shodovat. Na hranicích obou oblastí (vnější a vnitřní) tedy vlnové funkce musí splňovat určité podmínky, které bývají označovány jako sešívací podmínky.

Pro řešení s kladnou paritou tak dostaneme podmínky

$A\cos\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = C\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}a}$

$A\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\sin\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = C\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}a}$

Úpravou těchto podmínek dostaneme

$\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = \operatorname{arctg}\sqrt{\frac{V}{E}-1} + \pi n$,

kde n je celé číslo.

Pro řešení se zápornou paritou dostaneme podmínky

$B\sin\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = C\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}a}$

$B\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}\cos\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = -C\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}\mathrm{e}^{-\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}(V-E)}a}$

Úpravou těchto podmínek získáme výraz

$\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a = \operatorname{arccotg}\left(-\sqrt{\frac{V}{E}-1}\right) + \left(n+\frac{1}{2}\right)\pi$,

kde n je celé číslo.

Uvedené podmínky umožňují určit (diskrétní) hodnoty energií E_n. Kvantová mechanika tedy říká, že energie částice v potenciálové jámě konečné hloubky může nabývat pouze určitých hodnot, jež lze určit z těchto podmínek, a také je možné, že částice bude nalezena mimo oblast potenciálové jámy. Oba tyto výsledky odporují závěrům klasické mechaniky.

Tak jako v případě nekonečně hluboké potenciálové jámy lze i v tomto případě ověřit, že nejnižší energetická hladina (tzn. základní stav) má nenulovou energii, tedy $E\ne 0$.

Celkový počet energetických hladin je konečný a je větší než jedna nebo roven jedné.

Případ E>V

Je-li energie částice E větší než potenciální energie V, tzn. E > V, pak se podle klasické mechaniky může částice pohybovat volně v celé oblasti. V kvantové mechanice můžeme v takovém případě očekávat spojité spektrum energií E částice a také možnost, že částice bude vlivem působení potenciálové jámy s určitou pravděpodobností odražena, což je opět jev, který v klasické mechanice nepozorujeme.

Pro vyšetření vlastností potenciálové jámy pro případ, kdy E > V předpokládejme, že v oblasti | x | < a je V(x) = − V, kde V > 0 je konstanta, a vně této oblasti je V(x) = 0.

Osu x lze rozdělit na tři oblasti. Oblast vně jámy, z níž se částice k jámě přibližuje (např. x < − a), oblast uvnitř jámy (tedy | x | < a) a oblast vně jámy, v níž se částice pohybuje po průchodu jámou (tedy x > 0).

V oblasti, ze které částice přichází se tato částice pohybuje jako volná (V(x) = 0) a stacionární řešení v této oblasti lze tedy vyjádřit ve tvaru

$\psi_I = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x} + B\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x}$,

přičemž $\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}>0$. První člen na pravé straně je přitom obvykle chápán jako vlnová funkce odpovídající pohybu částice zleva k potenciálové jámě, zatímco druhý člen je chápán jako vlnová funkce částice, která byla od potenciálové jámy odražena.

Uvnitř potenciálové jámy lze řešení vyjádřit ve tvaru

$\psi_{II} = \alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}x} + \beta\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}x}$,

kde $\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}>0$.

Po průchodu částice jámou lze řešení vyjádřit jako

$\psi_{III} = C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x} + D\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x}$

Druhý člen by měl odpovídat částici pohybující se směrem k jámě. Vzhledem k tomu, že v této oblasti se po průchodu jámou bude částice pohybovat pouze směrem od potenciálové jámy, lze položit D = 0, čímž se řešení v této oblasti zjednoduší na

$\psi_{III} = C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}x}$

Na hranicích jednotlivých oblastí musí vlnová funkce a její derivace splňovat podmínky (tzv. sešívací podmínky). V bodě x = − a tak dostáváme

$A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} + B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} = \alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a} + \beta\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a}$

$A\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} - B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} = \sqrt{1+\frac{V}{E}} \left(\alpha\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a} - \beta\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a}\right)$

V bodě x = a budou mít podmínky tvar

$C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} = \alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a} + \beta\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a}$

$C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}a} = \sqrt{1+\frac{V}{E}}\left(\alpha\mathrm{e}^{\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a} - \beta\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\sqrt{\frac{2m(E+V)}{\hbar^2}}a}\right)$

Z těchto podmínek lze vyjádřit jednotlivé koeficienty.

Koeficient A určuje hustotu toku pravděpodobnosti dopadající částice, koeficient B hustotu toku částice odražené od potenciálové jámy a koeficient C souvisí s hustotou toku částice prošlé potenciálovou jámou. S jakou pravděpodobností částice potenciálovou jámou projde nebo se odrazí určuje koeficient průchodu

$T= {\left|\frac{C}{A}\right|}^2$

a koeficient odrazu

$R = {\left|\frac{B}{A}\right|}^2$

Vzhledem k tomu, že částice potenciálovou jámou buď projde nebo se od ní odrazí, musí platit vztah

T + R = 1

Po dosazení dostaneme

$T = \frac{1}{1+\frac{1}{4}{\left(\sqrt{\frac{E}{E+V}}-\sqrt{\frac{E+V}{E}}\right)}^2 \sin^2\sqrt{\frac{8m(E+V)}{\hbar^2}}a}$

Podle klasické mechaniky by v uvedeném případě mělo platit T = 1. Z vyjádření koeficientu průchodu je však vidět, že v kvantové mechanice je průchod částice potenciálovou jámou závislý na energii částice E.

Případ T=1 nastane tehdy, je-li

$\sqrt{\frac{8m(E+V)}{\hbar^2}}a = n\pi$,

kde n je celé číslo. V takovém případě je $\sin\sqrt{\frac{8m(E+V)}{\hbar^2}}a=0$ a tedy T = 1 bez ohledu na velikost jámy. Energie, při kterých k tomuto jevu dojde pak určeny jako

$E_n = \frac{\hbar^2\pi^2}{8ma^2}n^2-V$

Tyto energie však musí být podle předpokladu kladně, tzn. E_n > 0, čehož lze dosáhnout pouze pro n splňující podmínku

$n^2>\frac{8a^2mV}{\hbar^2\pi^2}$

Energie, pro něž je koeficient průchodu roven jedné, se označují jako rezonanční energie.

Související články

• Potenciální energie
• Potenciálový skok
• Potenciálová bariéra