Extrém funkce

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Lokální extrém funkce $f (x)$ je bod, ve kterém je funkční hodnota vyšší nebo rovna (lokální maximum) či nižší nebo rovna (lokální minimum) funkční hodnotě v libovolném bodě nějakého okolí tohoto bodu. Přesněji řečeno, bod $a$ je lokální maximum, pokud existuje nějaké okolí $U (a)$ , pro které

$x \isin U(a) \and x \ne a \Rightarrow f(x) \leq f(a)$ .

Obdobně je bod $a$ lokální minimum, pokud existuje nějaké okolí $U (a)$ , pro které

$x \isin U(a) \and x \ne a \Rightarrow f(x) \geq f(a)$ .

O globálním extrému hovoříme tehdy, pokud je funkční hodnota v nějakém bodě menší nebo rovna, resp. větší nebo rovna funkční hodnotě v libovolném jiném bodě celého definičního oboru (pokud platí ostré nerovnosti, označujeme extrém také za ostrý). Takový bod se pak označuje jako globální minimum, resp. globální maximum. Globální maximum:

$\begin{matrix} \\ \operatorname{max} \\ { }^{x \isin D_f} \end{matrix} \ f(x)$

a globální minimum:

$\begin{matrix} \\ \operatorname{min} \\ { }^{x \isin D_f} \end{matrix} \ f(x)$

tedy globální maximum, resp. globální minimum je tedy minimem, resp. maximem oboru hodnot.

Globálním extrémem může být nejen lokální extrém, ale také některý z krajních bodů definičního oboru.

Obsah

1 Určení extrému
- 1.1 Příklad
2 Extrémy funkce více proměnných
- 2.1 Extrémy funkce dvou proměnných
3 Související články

[editovat] Určení extrému

Lokální extrém funkce $f (x)$ se nachází v jejích stacionárních bodech, které určíme pomocí první derivace funkce řešením rovnice $f^\prime(x) = 0$ , nebo v bodech $a$ , v nichž derivace $f^\prime(a)$ neexistuje.

Je-li ve stacionárním bodě druhá derivace funkce $f$ nenulová, tzn. $f^{\prime\prime}(a) \ne 0$ , pak můžeme určit extrémy funkce podle následujících pravidel:

je-li $f^\prime(a) = 0$ a $f^{\prime\prime}(a) < 0$ , pak se jedná o ostré lokální maximum
je-li $f^\prime(a) = 0$ a $f^{\prime\prime}(a) > 0$ , pak se jedná o ostré lokální minimum

Pro $f^\prime(a) \neq 0$ se v bodě $a$ extrém nenachází.

Pokud je ve stacionárním bodě nulová také druhá derivace, je nutno určit vyšší derivace. Je-li $f^\prime(a) = f^{\prime\prime}(a) = f^{\prime\prime\prime}(a)= \ldots =f^{(n-1)}(a) = 0$ a $f^{(n)} \neq 0,$ kde $n \geq 1,$ pak v bodě $a$ platí

pro $n$ sudé a $f (n) (a) > 0$ má funkce v bodě $a$ ostré lokální minimum
pro $n$ sudé a $f (n) (a) < 0$ má funkce v bodě $a$ ostré lokání maximum
pro $n$ liché a $f (n) (a) > 0$ je funkce v bodě $a$ rostoucí
pro $n$ liché a $f (n) (a) < 0$ je funkce v bodě $a$ klesající

Pokud v bodě $a$ derivace funkce neexistuje, pak zkoumáme chování derivace v okolí bodu $a$ . Jestliže $f^\prime(x)$ mění při průchodu bodem $a$ znaménko z plus na mínus, pak má funkce $f (x)$ v bodě $a$ ostré lokální maximum, mění-li se znaménko derivace při průchodu bodem $a$ z mínus na plus, pak je v bodě $a$ ostré lokální minimum.

[editovat] Příklad

Najděte extrémy funkce $y = x 3 + x 2$ v intervalu $\langle -1, 5 \rangle$ .

Z první derivace získáme stacionární body, tzn. $y^\prime = 3x^2 + 2x = 0$ . Stacionární body tedy jsou

$x_1 = 0, x_2 = - \frac{2}{3}$ .

Podle druhé derivace $y^{\prime\prime} = 6x + 2$ určíme, zda se jedná o extrém, popř. jaký

$y^{\prime\prime}(x_1) = 2$ , tzn. v bodě $x 1 = 0$ je ostré lokální minimum o hodnotě $y (0) = 0$
$y^{\prime\prime}(x_2) = -2$ , tzn. v bodě $x_2 = - \frac{2}{3}$ je ostré lokální maximum o hodnotě $y\left({-\frac{2}{3}}\right) = \frac{4}{27}$

Na okrajích intervalu má funkce hodnoty $y ( - 1) = 0$ , $y (5) = 150$ . V bodě $x 3 = 5$ má funkce větší hodnotu než je hodnota lokálního maxima v bodě $x 2$ . V bodě $x 3 = 5$ se tedy nachází globální maximum funkce. Globální minimum se nachází v bodech $x 1 = 0$ a $x 4 = - 1$ .

[editovat] Extrémy funkce více proměnných

O funkci $f (x 1, x 2,..., x n)$ říkáme, že má lokální maximum v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ , pokud pro všechna $X = [x 1, x 2,..., x n]$ z okolí bodu $B$ platí $f(x_1,x_2,...,x_n) \leq f(b_1,b_2,...,b_n)$ . Je-li splněna podmínka $f(x_1,x_2,...,x_n) \geq f(b_1,b_2,...,b_n)$ , pak se jedná o lokální minimum funkce $f$ v bodě $B$ .

Pokud je splněna podmínka $f (x 1, x 2,..., x n) < f (b 1, b 2,..., b n)$ , pak se jedná o ostré lokální maximum funkce $f$ , a v případě platnosti podmínky $f (x 1, x 2,..., x n) > f (b 1, b 2,..., b n)$ jde ostré lokální minimum. Tyto body označujeme jako lokální extrémy funkce $f$ .

Pokud jsou uvedené podmínky splněny pro všechny body $X$ definičního oboru, pak se jedná o extrémy globální, tedy globální maximum nebo globální minimum funkce $f$ .

K určení extrémů lze použít parciální derivace funkce. Platí, že funkce $f$ může mít v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ lokální extrém pouze tehdy, pokud pro $i = 1,2,..., n$ platí

$\frac{\part f}{\part x_i} = 0$ .

Pokud má funkce $f (x 1, x 2,..., x n)$ v bodě $B = [b 1, b 2,..., b n]$ spojité parciální derivace druhého řádu, pak lze vytvořit symetrickou matici

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_1}{\part x_n}} \\\frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_2}{\part x_n}} \\... & ... & ... & ... \\\frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_1}} & \frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_2}} & ... & \frac{\part^2 f}{{\part x_n}{\part x_n}} \end{pmatrix}$ .

Je-li matice $\mathbf{A}$ pozitivně definitní, pak má funkce $f$ v bodě $B$ ostré lokální minimum, je-li matice $\mathbf{A}$ negativně definitní, má funkce $f$ v bodě $B$ ostré lokální maximum, v ostatních případech (při všech prvních derivacích v daném bodě rovných nule) se jedná o jakýsi „sedlový bod“.

[editovat] Extrémy funkce dvou proměnných

Z předchozího tedy vyplývá, že funkce dvou proměnných $z = f (x, y)$ může nabývat lokálních extrémů pouze v těch bodech $[x 0, y 0]$ , v nichž jsou splněny podmínky $\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part x} = 0$ , $\frac{\part f(x_0,y_0)}{\part y} = 0$ . Pokud má funkce $f (x, y)$ v bodech $[x 0, y 0]$ druhé parciální derivace, které označíme $A = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{\part x^2}, B = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{{\part x}{\part y}}, C = \frac{\part^2 f(x_0,y_0)}{\part y^2}$ , pak pokud v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 > 0$ , je v tomto bodě lokální extrém funkce $f (x, y)$ , a to ostré lokální maximum pro $A < 0$ a ostré lokální minimum pro $A > 0$ . Pokud v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 < 0$ , pak se nejedná o lokální extrém. V případě, že v bodě $[x 0, y 0]$ platí $A C - B 2 = 0$ , pak v tomto bodě lokální extrém může, ale nemusí být.