Diferencovatelnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál.
Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny

Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur. Diferencovatelná funkce v bodě je v matematické analýze taková funkce, která má v určitém bodě diferenciál. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na intervalu, případně na celém definičním oboru.

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou derivaci. Ilustrativní příklady:

  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = |x| není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot".
  • f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt[3]{x}. Tato funkce není diferencovatelná v bodě x = 0. Spojitá je všude v \mathbb{R}, ale v nule nekonečně rychle roste.
  • f(x,y) = \begin{cases}y & \text{pokud }y \ne x \\ 0 & \text{pokud }y = x\end{cases} má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny derivace ve směru) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y).

Formální definice diferencovatelnosti funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé x \in M existuje její diferenciál df(x). Funkce je spojitě diferencovatelná, pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině U je k krát spojitě diferencovatelná, pokud má všechny parciální derivace k-tého řádu spojité. Značíme f\in C^k(U).

Popis diferencovatelných funkcí[editovat | editovat zdroj]

Funkce jedné reálné proměnné[editovat | editovat zdroj]

Funkce f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} je v bodě c \in \mathbb{R} diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce f\, v bodě c\,. Konečnost derivace je důležitá, neboť například funkce signum má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál.

Funkce f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} je na diferencovatelná na intervalu \mathrm{I} s krajními body a<b, jestliže jsou splněny tyto tři podmínky:

  1. \forall x \in \left(a, b \right): f' \left( x \right) \in \mathbb{R}
  2. a \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_+ \left( a \right) \in \mathbb{R}
  3. b \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_- \left( b \right) \in \mathbb{R}

Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech vnitřních bodech i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu.

Funkce f je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace f' je spojitá.

Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na otevřených intervalech, a pak v definici nejsou druhá a třetí podmínka.

Funkce více reálných proměnných[editovat | editovat zdroj]

Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce f:\R^n\to\R v bodě c je existence a spojitost parciálních derivací f na okolí c. Diferenciál se obvykle definuje na vnitřních bodech definičního bodu. Pokud existují na otevřené množině spojité parciální derivace f podle všech proměnných, je f spojitě diferencovatelná.

Funkce na hladké varietě[editovat | editovat zdroj]

Funkce f definovaná na hladké varietě M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu g: M\to U\subset\R^n je složení f \circ g^{-1}: U\to\R diferencovatelná.

Zobrazení mezi vícerozměrnými prostory[editovat | editovat zdroj]

Zobrazení \R^n\to\R^k je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami.

Vlastnosti diferencovatelných funkcí[editovat | editovat zdroj]

  • Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval.
  • Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl f/g, kde g je nenulová, je diferencovatelný.
  • Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné.
  • Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru Taylorovým polynomem.
  • Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Weierstrassova funkce příklad spojité funkce, která není diferencovatelná

Hladká funkce[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Hladká funkce.

Funkce f se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má všechny (parciální pro funkci více proměnných) derivace všech řádů. Značíme f \in C^\infty(U)=\cap_k C^k(U).

Holomorfní funkce[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku holomorfní funkce.

Obdobou diferencovatelné funkce v oboru komplexních čísel je holomorfní funkce.

Další významy[editovat | editovat zdroj]

  • Diferencovatelná struktura - atlas hladké variety.
  • Diferenciální forma - hladká sekce kotečného bundlu variety
  • Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné

Poznámky[editovat | editovat zdroj]

  1. Derivace této funkce má tvar :f'(x) = \begin{cases}-\mathord{\cos(1/x)} + 2x\sin{(1/x)} & \text{pokud }x \neq 0, \\ 0 &\text{pokud }x = 0.\end{cases} a tato zjevně nemá limitu pro x = 0.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress
  • Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980