Diferencovatelnost

Pro porozumění tomuto článku je nutné znát pojem derivace a diferenciál.

Příklad diferencovatelné funkce z R do R, jejího diferenciálu v bodě a její tečny

Diferencovatelnost je v matematice vlastnost reálných funkcí anebo obecnějších geometrických struktur. Diferencovatelná funkce v bodě je v matematické analýze taková funkce, která má v určitém bodě diferenciál. Obdobně lze definovat diferencovatelnost na intervalu, případně na celém definičním oboru.

Neformální úvod

Funkce je diferencovatelná, pokud se dá na okolí každého bodu aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce nebo rovině. Znamená to, že funkce je spojitá, nemá "hroty" a v žádném směru neroste nekonečně rychle. Funkce jedné reálné proměnné jsou diferencovatelné, pokud mají v daném bodě konečnou derivaci. Ilustrativní příklady:

• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = |x|$ není diferencovatelná v nule, neboť tam má "hrot".
• $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},~f(x) = \sqrt[3]{x}$. Tato funkce není diferencovatelná v bodě $x = 0$. Spojitá je všude v $\mathbb{R}$, ale v nule nekonečně rychle roste.
• $f(x,y) = \begin{cases}y & \text{pokud }y \ne x \\ 0 & \text{pokud }y = x\end{cases}$ má obě parciální derivace v (0, 0) (a dokonce i všechny derivace ve směru) a je v tomto bodě spojitá, ale ne diferencovatelná, neboť nemá tečnou rovinu (rovina {z=y} neaproximuje funkci dostatečně v bodech x=y).

Formální definice diferencovatelnosti funkce

Funkce f je diferencovatelná na množině M, pokud pro každé $x\in M$ existuje její diferenciál $df(x)$. Funkce je spojitě diferencovatelná, pokud se diferenciál mění bod od bodu spojitě. Funkce f definovaná na otevřené množině U je k krát spojitě diferencovatelná, pokud má všechny parciální derivace k-tého řádu spojité. Značíme $f\in C^k(U)$.

Popis diferencovatelných funkcí

Funkce jedné reálné proměnné

Funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ je v bodě $c \in \mathbb{R}$ diferencovatelná právě tehdy, existuje-li konečná derivace funkce $f\,$ v bodě $c\,$. Konečnost derivace je důležitá, neboť například funkce signum má v nule nekonečnou derivaci, ale ne diferenciál.

Funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ je na diferencovatelná na intervalu $\mathrm{I}$ s krajními body $a<b$, jestliže jsou splněny tyto tři podmínky:

1. $\forall x \in \left(a, b \right): f' \left( x \right) \in \mathbb{R}$
2. $a \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_+ \left( a \right) \in \mathbb{R}$
3. $b \in \mathrm{I}, \Rightarrow f'_- \left( b \right) \in \mathbb{R}$

Tedy funkce na jednorozměrném intervalu je diferencovatelná, pokud má konečnou derivaci ve všech vnitřních bodech i konečné jednostranné derivace v obou koncových bodech intervalu.

Funkce f je spojitě diferencovatelná, pokud její derivace f' je spojitá.

Někdy se diferencovatelnost uvažuje jen na otevřených intervalech, a pak v definici nejsou druhá a třetí podmínka.

Funkce více reálných proměnných

Postačující podmínka pro existenci diferenciálu funkce $f:\R^n\to\R$ v bodě c je existence a spojitost parciálních derivací f na okolí c. Diferenciál se obvykle definuje na vnitřních bodech definičního bodu. Pokud existují na otevřené množině spojité parciální derivace f podle všech proměnných, je f spojitě diferencovatelná.

Funkce na hladké varietě

Funkce f definovaná na hladké varietě M je diferencovatelná, pokud pro každou mapu $g: M\to U\subset\R^n$ je složení $f \circ g^{-1}: U\to\R$ diferencovatelná.

Zobrazení mezi vícerozměrnými prostory

Zobrazení $\R^n\to\R^k$ je diferencovatelné, pokud je diferencovatelná každá jeho složka. Podobně pro zobrazení mezi libovolnými hladkými varietami.

Vlastnosti diferencovatelných funkcí

• Funkce, která je diferencovatelná v bodě, je v tomto bodě spojitá. Stejně pro libovolný interval.
• Součet, rozdíl, součin diferencovatelných funkcí je též diferencovatelný. Podíl f/g, kde g je nenulová, je diferencovatelný.
• Složení diferencovatelných zobrazení je diferencovatelné.
• Diferencovatelnou funkci lze aproximovat na okolí vnitřního bodu definičního oboru Taylorovým polynomem.
• Diferencovatelná funkce má všechny derivace ve směru a tato derivace závisí na směru lineárně.

Příklady

Weierstrassova funkce příklad spojité funkce, která není diferencovatelná

• Exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce jsou diferencovatelné na celém definičním oboru s výjimkou případně množiny izolovaných bodů.
• Funkce $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\;f(x)=\begin{cases}e^{(-1/x)}&\text{pokud }x>0,\\ 0&\text{pokud }x\le0,\end{cases}$ není analytickou, a přesto je diferencovatelná na celém $\mathbb{R}$.
• Funkce definovaná předpisem $f(x) \;=\; \begin{cases} x^2\sin (1/x) &\text{pokud }x \ne 0 \\ 0 & \text{pokud }x=0\end{cases}$ je diferencovatelná v bodě 0, ale není spojitě diferencovatelná, neboť její derivace není spojitá.
• Weierstrassova funkce přestože je spojitá na celém $\mathbb{R}$ není v žádném bodě definičního oboru diferencovatelná.

Hladká funkce

Funkce f se nazve hladká na otevřené množině U, pokud má všechny (parciální pro funkci více proměnných) derivace všech řádů. Značíme $f \in C^\infty(U)=\cap_k C^k(U)$.

Holomorfní funkce

Obdobou diferencovatelné funkce v oboru komplexních čísel je holomorfní funkce.

Další významy

• Diferencovatelná struktura - atlas hladké variety.
• Diferenciální forma - hladká sekce kotečného bundlu variety
• Diferencovatelný bundl - bundl, ve kterém jsou přechodové funkce diferencovatelné

Související články

• Diferenciál
• Derivace

Reference

• Kopáček, J.: Matematická analýza pro fyziky , I., II. díl, Matfyzpress
• Fučík, S., Milota, J.: Matematická analýza II, Diferenciální počet funkcí více proměnných, skripta MFF UK, Praha, 1980