Moment setrvačnosti

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Značení[editovat | editovat zdroj]

Výpočet[editovat | editovat zdroj]

Diskrétní rozložení hmoty[editovat | editovat zdroj]

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost \omega všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech n hmotných bodů soustavy, tzn.

E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2,

kde m_i je hmotnost i-tého hmotného bodu, v_i je velikost jeho rychlosti, r_i je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. v = \omega r. Předchozí vztah lze upravit na tvar

E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2,

kde veličina J představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2

Spojité rozložení hmoty[editovat | editovat zdroj]

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

I = \int_M r^2 \mathrm{d}m,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti M.


Je-li \rho hustota tělesa, pak \mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V, kde V je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

I = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V

Integruje se přes objem celého tělesa V.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. \rho = \mbox{konst.}, je možné předchozí vztah zjednodušit

I = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V

Poloměr setrvačnosti[editovat | editovat zdroj]

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa M a čtverce jisté střední vzdálenosti R, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

J = MR^2

Vzdálenost R = \sqrt{\frac{J}{M}} se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles[editovat | editovat zdroj]

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

  • Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
J = \frac{1}{12}m l^2
  • Moment setrvačnosti tyče délky l a hmotnosti m vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce
J = \frac{1}{3}m l^2
  • Moment setrvačnosti koule o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose procházející středem koule.
J = \frac{2}{5}mr^2
J = \frac{1}{2}mr^2
  • Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru r_1 a vnějším poloměru r_2 a hmotnosti m vzhledem k ose souměrnosti.
J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)
  • Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru r a hmotnosti m vzhledem k ose otáčení.
J = mr^2

Steinerova věta[editovat | editovat zdroj]

Související informace naleznete také v článku Steinerova věta.

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnosti a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

J = J_0 + m r_T^2,

kde J_0 je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, m je hmotnost tělesa a r_T je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti[editovat | editovat zdroj]

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy S úhlovou rychlostí \mathbf{\omega}, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2,

kde J_S je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose S, v_i je rychlost i-tého hmotného bodu soustavy, a \mathbf{r}_i je polohový vektor i-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa S.

Vektor \mathbf{\omega}, který směřuje podél osy S lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek \omega_x, \omega_y, \omega_z vzhledem k souřadnicovým osám x, y, z. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx},

kde

J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i
J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i
J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám x, y, z a

D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i
D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i
D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i

jsou deviační momenty.


Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m
J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m
J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m
D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m
D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m


Vektor \mathbf{\omega}, který leží v ose S je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. \cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}, kde \omega je velikost vektoru \mathbf{\omega}. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti J_S vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami x, y, z úhly \alpha, \beta, \gamma

J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta

Změní-li se směr osy S vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti J_S. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.


Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm},

kde symbol \otimes představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti[editovat | editovat zdroj]

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme z=0. Hmotnostní element \mathrm{d}m je pak \sigma\mathrm{d}S, kde \sigma je plošná hustota zkoumané plochy (obecně závislá na x a y).


Plošné momenty setrvačnosti k osám x, y jsou tedy

J_x = \int_S y^2\sigma\mathrm{d}S
J_y = \int_S x^2\sigma\mathrm{d}S

Z deviačních momentů je nenulový pouze

D_{xy} = \int_S xy\sigma\mathrm{d}S

Pokud je plocha homogenní (plošná hustota je konstantní), můžeme ji vytknout před integrál a vztahy se zjednoduší na

J_x = \sigma\int_S y^2\mathrm{d}S
J_y = \sigma\int_S x^2\mathrm{d}S
D_{xy} = \sigma\int_S xy\mathrm{d}S

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.


Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m
J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m
J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám x, y, z pak platí

J_x = J_{xy} + J_{zx}
J_y = J_{xy} + J_{yz}
J_z = J_{yz} + J_{zx}

Polární moment setrvačnosti[editovat | editovat zdroj]

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k počátku souřadné soustavy [0,0]) je

J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\sigma\mathrm{d}S = \int_S r^2\sigma\mathrm{d}S

Související články[editovat | editovat zdroj]

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7