Cauchyova věta

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Cauchyova věta je integrální věta, která má v komplexní analýze velký význam pro výpočet integrálů analytických funkcí.

Obsah

1 Věta
2 Důkaz
3 Důsledek
4 Související články
5 Reference
6 Vnější odkazy

[editovat] Věta

Mějme jednoduchou uzavřenou po částech hladkou orientovanou křivku $c$ a regulérní komplexní funkci $f (z)$ , která je holomorfní ve vnitřku $\mathbf{G}$ křivky $c$ a spojitá v $\overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c$ . Pak platí

$\oint_c f(z) \mathrm{d}z = 0$

[editovat] Důkaz

Větu lze dokázat tak, že použijeme $z=x+\mathrm{i}y,\; f(z)=u(x,y)+\mathrm{i}v(x,y)$ a vzniklý výraz upravíme pomocí Stokesovy věty a Cauchyových-Riemannových podmínek, tzn.

$\oint_c f(z) \mathrm{d}z = \oint_c (u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y) + \mathrm{i} \oint_c (v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y) =$

$= \int_G (-\frac{\part v}{\part x}- \frac{\part u}{\part y})\mathrm{d}S + \mathrm{i} \int_G (\frac{\part u}{\part x} - \frac{\part v}{\part y})\mathrm{d}S = 0$

[editovat] Důsledek

Oblast pro důsledek Cauchovy věty.

Jsou-li $c 0, c 1$ dvě shodně orientované (jednoduché konečné a po částech hladké) křivky, přičemž $c 1$ leží uvnitř $c 0$ (viz obr.), a funkce $f (z)$ je holomorfní v dvojnásobně souvislé oblasti $\mathbf{G}$ ohraničené křivkami $c 0$ a $c 1$ a spojitá v $\overline \mathbf{G} = \mathbf{G} \cup c_0 \cup c_1$ , pak