Sigma algebra

σ-algebra (sigma algebra) je teoretický koncept výběru jistých podmnožin dané množiny, který splňuje pevně definované podmínky. Koncept σ-algebry umožňuje například zavést míru, čehož se dále využívá zejména v matematické analýze k budování pojmu integrál a v teorii pravděpodobnosti k vybudování pravděpodobnostního prostoru.

Definice

σ-algebra je neprázdný systém $\Sigma$ podmnožin množiny $X$, formálněji podmnožina potenční množiny, pro který platí následující podmínky

1. $X \in \Sigma$
2. je-li $A \in \Sigma$, pak je také $A^\prime \in \Sigma$, kde $A^\prime$ je doplněk množiny $A$ v $X$
3. je-li $A$ sjednocením spočetného počtu množin $A_i \in \Sigma$, tzn. pokud $A = \cup_{i=1}^\infty A_i$, pak také $A \in \Sigma$

V souvislosti se σ-algebrami se též používá pojem měřitelný prostor, což je označení pro dvojici $(X, \Sigma)$.

Množinová algebra

Je-li v poslední podmínce povoleno sjednocení pouze konečného počtu podmnožin $A_i \in M$, tzn. $A = \cup_{i=1}^n A_i$ pro $i = 1,2, ..., n$, pak se jedná o tzv. množinovou algebru.

Množinová algebra je tedy speciálním případem σ-algebry, který získáme tak, že od určitého $n$ položíme $A_{n+1} = A_{n+2} = ... = \emptyset$, čímž podmínka spočetného sjednocení přejde na konečné sjednocení $n$ prvků množiny $M$.

Vlastnosti

Z první a druhé podmínky plyne, že prvkem σ-algebry je také $\emptyset$, tzn. $\emptyset \in \Sigma$, neboť $\emptyset$ je doplňkem množiny $X$, která podle první podmínky do systému $\Sigma$ také patří.

Jsou-li $A, B$ prvky σ-algebry $\Sigma$, pak je také rozdíl $A - B$ je prvkem σ-algebry $\Sigma$.

Příklady

Buď $M = \{ 1,2,3,4 \}$. Pak σ-algebrou $\Sigma$ na množině $M$ je například systém množin:

• $\Sigma_1 = \{\emptyset, \{1, 2\}, \{3, 4\}, \{1, 2, 3, 4\} \}$

Související články

• Matematická analýza
• Teorie míry
• Teorie množin
• Teorie pravděpodobnosti