Sigma okruh

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

\sigma-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix \sigma v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice[editovat | editovat zdroj]

Systém množin \mathcal{R} je \sigma-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

  1. \mathcal{R} \neq \empty
  2. jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}), pak \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}
  3. jestliže A, B \in \mathcal{R}, pak A \setminus B \in \mathcal{R}


Někdy se jako \sigma-okruh označuje uspořádaná dvojice (\Omega, \mathcal{R}), kde \Omega je libovolná množina a \mathcal{R} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Další vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

  • Každý \sigma-okruh obsahuje prázdnou množinu
  • \sigma-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků: jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}), pak \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}

Použití[editovat | editovat zdroj]

Koncept \sigma-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo \sigma-algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články[editovat | editovat zdroj]

\sigma-algebra \mathcal{A} je \sigma-okruh, který obsahuje sjednocení všech svých prvků (tj. \Omega \in \mathcal{A}).

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Sigma-okruh na slovenské Wikipedii.