Teorie míry

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Míra[editovat | editovat zdroj]

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Přesná definice[editovat | editovat zdroj]

Mějme měřitelný prostor (X, \Sigma). Množinovou funkci \mu: \Sigma \rightarrow \langle 0, \infty \rangle nazveme mírou, jestliže splňuje:

Trojici (X, \Sigma, \mu) pak nazýváme prostor s mírou.

Vlastnosti míry[editovat | editovat zdroj]

  • A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B)
  • Pro posloupnost množin (A_i)_{i=1}^\infty platí: \mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i}) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)
  • Pro posloupnost podmnožin A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq ... platí: \mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})
  • Naopak pro posloupnost nadmnožin: A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq ... pokud \mu(A_{1})< \infty pak platí: \mu(\bigcap_{i=1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})

Příklady měr[editovat | editovat zdroj]

  • Diracova míra \delta_{a}: Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra \delta_{a} je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

\delta_{a}(A)=\begin{cases}
  \mbox{0 pokud } a\notin A\\
  \mbox{1 pokud } a\in A
\end{cases}

Reference[editovat | editovat zdroj]

  • Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru
  • J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články[editovat | editovat zdroj]