Teorie míry

Teorie míry je matematická disciplína, která se zabývá z nejobecnějšího možného hlediska problémem matematického uchopení pojmu kvantity. Má velmi úzkou souvislost s teorií integrálu a teorií pravděpodobnosti.

Obsah

Pojem míry je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů délky, obsahu, objemu nebo počtu (množství).

Funkce μ, která je definovaná na σ-algebře Σ, a jejíž obor hodnot je podmnožinou intervalu $[0,\infty]$ , se nazývá míra, jestliže platí:

míra prázdné množiny je nulová: $\mu(\emptyset)=0$
σ-aditivita: pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin $A 0, A 1,...$ je $\mu(\bigcup_{i} A_{i})=\sum_{i} \mu(A_{i})$

$\mbox{pokud } A \subseteq B \mbox{, pak } \mu(A) \le \mu(B)$
$\mbox{pokud }A_{0} \subseteq A_{1} \subseteq ... \mbox{ , pak } \mu(\bigcup_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})$
$\mbox{pokud }A_{0} \supseteq A_{1} \supseteq ... \mbox{ a } \mu(A_{0})< \infty \mbox{ , pak } \mu(\bigcap_{i} A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})$

Diracova míra $δ a$ : Nehť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra $δ a$ je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem:

$\delta_{a}(A)=\begin{cases} \mbox{0 pokud } a\notin A\\ \mbox{1 pokud } a\in A \end{cases}$

Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru

Související články obsahuje
Portál Matematika