Měřitelný kardinál

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Řekneme, že kardinální číslo $\kappa$ je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na $\kappa$ netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než $\kappa$ množin.

Vlastnosti

Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr $\mathcal{U}$ na $\kappa$ definuje $\,\kappa^{<}$-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než $\kappa$ množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem $\mu(X)=1$ pro $X\in \mathcal{U}$ a $\mu(X)=0$ jinak. Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na $\kappa$. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál $\kappa$, na němž existuje $\,\kappa^{<}$-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální $\kappa$-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu $\kappa$ nazývá měřitelný ultrafiltr na $\kappa$ nebo jen míra na $\kappa$.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je $\kappa$ nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje $\alef_{1}$-úplný ultrafiltr, pak $\kappa$ je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let 20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině $\,\kappa^{\kappa}$ všech funkcí z $\kappa$ do $\kappa$ pro měřitelný kardinál $\kappa$ takto: Nechť $\mathcal{U}$ je měřitelný ultrafiltr na $\kappa$. Pro funkce $f,g \in \kappa^{\kappa}$ definujeme

• $f <^{\mathcal{U}} g$ právě když $\{x\in \kappa ; f(x)<g(x)\}\in \mathcal{U}$
• $f =^{\mathcal{U}} g$ právě když $\{x\in \kappa ; f(x)=g(x)\}\in \mathcal{U}$
• $f \leq^{\mathcal{U}} g$ právě když $f <^{\mathcal{U}} g$ nebo $f =^{\mathcal{U}} g$
• $\,k_a$, kde $a\in \kappa$, je taková funkce, která splňuje $\,k_{a}(x)= a$ pro všechna $\,x\in \kappa$
• funkce f je první za konstantami, je-li $k_a <^{\mathcal{U}} f$ pro všechna $a\in \kappa$ a kdykoli $g <^{\mathcal{U}} f$, pak $g =^{\mathcal{U}} k_a$ pro nějaké $a\in \kappa$

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li $\kappa$ měřitelný kardinál, pak na $\kappa$ existuje měřitelný ultrafiltr $\mathcal{U}$ takový, že identita na $\kappa$ (fce $\,id(x)$, že $\,id(x)=x$ pro $x\in \kappa$) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem $\kappa$ leží právě $\kappa$ nedosažitelných kardinálů.

Související články

• Velké kardinály
• Ultrafiltr
• Ramseyův kardinál