Aritmetická míra

Aritmetická míra, též čítací míra nebo počítací míra, je mírou používanou hlavně v diskrétních systémech.

Definice

Mějme měřitelný prostor $(X, \mathcal{P}(X))$, kde $X$ je libovolná množina a $\mathcal{P}$ značí potenční množinu ($\mathcal{P}(X)$ je speciální případ σ-algebry na $X$). Na takovém prostoru definujeme aritmetickou míru pro $A \in \mathcal{P}(X)$ takto:

$\alpha(A) = \begin{cases} |A| & \mbox{pokud A je konečná množina} \\ \infty & \mbox{pokud A není konečná} \end{cases}$

Neformálně: Aritmetická míra je funkce přiřazující množině počet jejích prvků.

Vztah sumy a integrálu

Aritmetická míra umožňuje zavést sumu jako speciální případ integrálu (Lebesgueova). Jelikož je každá podmnožina $\mathbb{N}$ měřitelná, tak pro každou funkci (resp. posloupnost) $g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ platí:

$\int_\mathbb{N} g \, \mathrm{d} \alpha = \sum_{n \in \mathbb{N}} g(n)$ Je-li integrál definován.

Tento vztah je užitečný například při zavádění L_p prostoru na množině posloupností.