Lp prostor

L^p prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice

Nechť $(X, \Sigma, \mu)$ je prostor s mírou a $f$ je μ-měřitelná funkce na $X$. Pak pro $p \in \langle 1, \infty )$ definujeme:

$\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p}$

a dále definujeme:

$\|f\|_\infty = \mathrm{ess } \sup{|f(x)|} = \inf{\{ c \ge 0 : |f| \le c \mbox{ skoro všude na } X\}}$

Pro $p \in \langle 1, \infty \rangle$ pak konečně definujeme $\mathcal{L}^p$ prostor takto:

$\mathcal{L}^p(X) = \{ f : \|f\|_p < \infty, f \mbox{ je měřitelná }\}$

Zobrazení $\| \cdot \|_p$ není přísně vzato normou, protože funkce která je nulová pouze skoro všude se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulové vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho $L^p$, jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků $L^p$ zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou "normou" jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti

Teoreticky je možné uvažovat i $L^p$ prostory pro $p < 1$, lze ale ukázat, že $\| \cdot \|_p$ pak není norma. Naopak, pro $p \ge 1$ je $L^p$ prostor Banachovým prostorem, pro $p=2$ dokonce Hilbertovým prostorem.

Důležité příklady

• Prostory $L^p(\Omega)$ pro množinu $\Omega \subseteq R^n$ s Lebesgueovou mírou.
• Prostory $\ell^p$, definované jakožto $L^p$-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky $\ell^p$ jsou tedy jisté posloupnosti čísel.