Lp prostor

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Lp prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Nechť (X, \Sigma, \mu) je prostor s mírou a f je μ-měřitelná funkce na X. Pak pro p \in \langle 1, \infty ) definujeme:

\|f\|_p = \left(\int_X |f|^p \, \mathrm{d} \mu \right)^{1/p}

a dále definujeme:

\|f\|_\infty = \mathrm{ess } \sup{|f(x)|} = \inf{\{ c \ge 0 : |f| \le c \mbox{ skoro všude na } X\}}

Pro p \in \langle 1, \infty \rangle pak konečně definujeme \mathcal{L}^p prostor takto:

\mathcal{L}^p(X) = \{ f : \|f\|_p < \infty, f \mbox{ je měřitelná }\}

Zobrazení \| \cdot \|_p není přísně vzato normou, protože funkce která je nulová pouze skoro všude se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulové vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho L^p, jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků L^p zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou "normou" jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Teoreticky je možné uvažovat i L^p prostory pro p < 1, lze ale ukázat, že \| \cdot \|_p pak není norma. Naopak, pro  p \ge 1 je L^p prostor Banachovým prostorem, pro p=2 dokonce Hilbertovým prostorem.

Důležité příklady[editovat | editovat zdroj]