Dirichletova funkce

Dirichletova funkce je funkce, která je definovaná na oboru všech reálných čísel a přitom není spojitá v žádném bodě.

Definice a graf

Náznak grafu Dirichletovy funkce. Skutečný graf této funkce nelze žádným způsobem nakreslit ani si ho představit, což vedlo mnohé matematiky zejména v 19. století k pochybám, zda Dirichletova funkce je skutečně funkcí či jakousi "příšerou", která nepatří do matematiky. Dnes již matematika zcela bez námitek uznává i funkce mnohem podivnější.

Dirichletova funkce D(x) je definována následujícím předpisem:

$D(x):=\begin{cases} 1,&\mbox{pokud}\ x\ \mbox{je racionální číslo} \\ 0,&\mbox{pokud}\ x\ \mbox{je iracionální číslo.} \end{cases}$

Ekvivalentně lze definovat: $D(x):=\lim_{m\rightarrow\infty}\lim_{n\rightarrow\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)$.

Vlastnosti

Dirichletova funkce:

• není spojitá v žádném bodě
• nemá dokonce v žádném bodě limitu a to ani jednostrannou
• není monotónní na žádném intervalu ani v žádném bodě
• nabývá maxima v každém racionálním bodě a minima v každém iracionálním bodě
• Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes libovolný interval je roven 0
• Lebesgueův integrál a Kurzweilův integrál přes celý definiční obor je roven 0, její Newtonův ani Riemannův integrál neexistují

Související články

• Charakteristická funkce
• Peter Dirichlet
• Riemannova funkce
• Peanova křivka

Externí odkazy

• (anglicky) Dirichletova funkce v encyklopedii MathWorld
• Dirichletova funkce a její modifikace: http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4s.htm