Stejnoměrná konvergence

Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí je silnější druh konvergence, než bodová konvergence. Posloupnost $\{ f_n(x) \} _{n = 1}^{n = \infty}$ funkcí konverguje stejnoměrně k limitní funkci f, pokud rychlost konvergence nezávisí na hodnotě x.

Definice

Srovnáme-li definice konvergence

$\forall \varepsilon > 0, \forall x, \exists n_0 \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$

a stejnoměrné konvergence

$\forall \varepsilon > 0, \exist n_0 \in \mathbb{N}: \forall x, \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon$,

vidíme, že jediný rozdíl je v pořadí kvantifikátorů $\forall x$ a $\exists n_0$. Tento rozdíl je však podstatný: Uvážíme-li posloupnost funkcí f_n(x) = xⁿ − x²ⁿ, pak na intervalu [0, 1] všechny konvergují k nule, nikoli však stejnoměrně.

Ekvivalentní definice

Platí, že posloupnost funkcí f_n(x) konverguje na intervalu I k funkci f(x) stejnoměrně právě tehdy, když

$\lim\limits_{n \to \infty} \sup\limits_{x \in I} |f_n(x) - f(x)| = 0$,

Související články

• Abelovo kritérium stejnoměrné konvergence
• Posloupnost
• Řada (matematika)
• Konvergence
• Limita
• Supremum

V tomto článku je použit překlad textu z článku Uniform convergence na anglické Wikipedii.