Normála

Normála daného n−1 dimenzionálního podprostoru v n-dimenzionálním prostoru je přímka kolmá na daný podprostor. Vektor určující směr normály se nazývá normálový vektor. V rovinném případě je to vektor kolmý na přímku, v prostorovém případě je to vektor kolmý na rovinu.

Obecněji lze v jednotlivých bodech určovat i normály jiných spojitých n−1 rozměrných útvarů – tzv. nadploch. Například v rovině ke křivkám nebo v prostoru k plochám. Normála je pak normálou tečného podprostoru v daném bodě a určuje orientaci nadplochy.

Lze také určovat normály k útvarům nižší dimenze, např. k prostorové křivce. V takovém případě však normála není určena jednoznačně. Všechny normály v daném bodě pak tvoří normálový prostor, např. v případě prostorové křivky tvoří všechny normály normálovou rovinu.

Normála plochy

Normála k ploše v bodě je shodná s normálou k rovině tečné k dané ploše ve stejném bodě.

Je-li rovina dána rovnicí $ax+by+cz+d=0$, potom je její normálový vektor n roven $(a,b,c)$.

Je-li příslušně hladká plocha dána rovnicemi

$x=x(r,s),\,$

$y=y(r,s),\,$

$z=z(r,s),\,$

potom je vektor normály až na znaménko udán jako

$\mathbf {n} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial s}}=\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}},&{\frac {\partial y}{\partial r}},&{\frac {\partial z}{\partial r}}\\{\frac {\partial x}{\partial s}},&{\frac {\partial y}{\partial s}},&{\frac {\partial z}{\partial s}}\\\mathbf {e} _{1},&\mathbf {e} _{2},&\mathbf {e} _{3}\end{matrix}}\right|,$

což má přímé zobecnění v n-rozměrném prostoru:

$\mathbf {n} =\left|{\begin{matrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{1}}}\\\dots ,&\dots ,&\dots \\{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{n-1}}},&\dots ,&{\frac {\partial x_{n}}{\partial p_{n-1}}}\\\mathbf {e} _{1},&\dots ,&\mathbf {e} _{n}\end{matrix}}\right|,$

kde $p_{1},\dots ,p_{n-1}$ jsou parametry plochy.

Je-li plocha dána jako množina bodů $(x,y,z)$ splňujících rovnici :$F(x,y,z)=0$, potom určíme vektor normály až na znaménko jako gradient F:

$\mathbf {n} =\nabla F(x,y,z)$.

Normála křivky

Všechny přímky, které prochází daným bodem křivky $\mathbf {r} =\mathbf {r} (s)$, kde $s$ je oblouk křivky, a jsou kolmé na tečný vektor $\mathbf {t}$ v tomto bodě, se označují jako normály křivky v daném bodě.

Hlavní (první) normálou křivky se nazývá přímka, která je její normálou v daném bodě a jejíž směr je určen vektorem ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}$.

Jednotkový vektor $\mathbf {n}$, který má stejný směr jako vektor ${\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}$, se nazývá jednotkový vektor hlavní (první) normály. Hlavní normála je definována pokud v daném bodě křivky platí ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {t} }{\mathrm {d} s^{2}}}\neq 0$.

Jednotkový vektor hlavní normály lze pomocí Frenetových vzorců vyjádřit jako

$\mathbf {n} ={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {t} }{\mathrm {d} s}}={\frac {1}{k_{1}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} s^{2}}}$,

kde $k_{1}$ je tzv. první křivost.

Vektory $\mathbf {t}$ a $\mathbf {n}$ jsou vzájemně kolmé, tzn. $\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =0$.

Pokud parametrem křivky není její oblouk $s$, ale obecný parametr $t$, tzn. křivka je dána rovnicí $\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)$, pak je jednotkový normálový vektor $\mathbf {n}$ dán vztahem

$\mathbf {n} ={\frac {{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}}{\sqrt {\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)\cdot \left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\right)}}}$,

kde $c={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}}}={\frac {1}{\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}}$ pokud platí ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}\neq 0$ a ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}c+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} t}}\neq 0$.

Související články

• Průvodní trojhran
• Frenetovy vzorce
• Binormála
• Tečna

Autoritní data	GND: 4699684-9

Portály: Matematika