Hodnost matice

Hodnost matice (též Rank) je číslo, které určuje maximální počet lineárně nezávislých řádků matice.

Platí, že maximální počet lineárně nezávislých sloupců je roven maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice. Definice hodnosti je tedy platná také pro maximální počet lineárně nezávislých sloupců.

Pro matici $\mathbf{A}$ typu $m \times n$ platí

$h(\mathbf{A}) \leq \min\{ m, n \}$,

kde $\min \{ m, n \}\,$ představuje nejmenší hodnotu z množiny $\{ m, n \}\,$. Hodnost matice typu $m \times n$ je tedy menší nebo rovna menšímu z čísel $m, n$.

Určení hodnosti

Hodnost dané matice lze určit např. gaussovou eliminací. Po provedení eliminace je hodnost matice rovna počtu nenulových řádků.

Vlastnosti

• Pokud je hodnost čtvercové matice menší, než její rozměr, mluvíme o matici singulární (její řádky jsou lineárně závislé a její determinant je roven nule), v opačném případě o matici regulární (jeji řádky jsou lineárně nezávislé a má nenulový determinant)
• Pro transponovanou matici platí

$h(\mathbf{A}^T) = h(\mathbf{A})$.

Hodnost transponované matice je tedy stejná jako hodnost původní matice.

Použití

Hodnosti matice využívá např. Frobeniova věta.

Související články

• Matice
• Lineární závislost