Transpozice matice

Matici, která vznikne z matice $\mathbf{A}$ vzájemnou výměnou řádků a sloupců, označujeme jako transponovanou matici a značíme $\mathbf{A}^T$. Pro jednotlivé prvky transponované matice platí

$a_{ij}^T = a_{ji} \,$.

Pokud má matice $\mathbf{A}$ rozměry $(m,n)$, pak její transpozicí vznikne matice o rozměrech $(n,m)$.

Příklady

• $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 7\end{pmatrix}$
• $\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 5 \\ 2 & 6 \\ 3 & 7\end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} a & c\\ b & d\end{pmatrix}$

Vlastnosti

• Dvojitou transpozicí získáváme zpět původní matici:
  • $\left( \mathbf{A}^\mathrm{T} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{A} \quad \,$.
• Násobení skalárem se dá vytknout před operaci transpozice:
  • $(c \mathbf{A})^\mathrm{T} = c \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$
• Transpozice součtu matic je součtem transponovaných matic:
  • $(\mathbf{A}+\mathbf{B}) ^\mathrm{T} = \mathbf{A}^\mathrm{T} + \mathbf{B}^\mathrm{T} \,$
• Transpozice součinu dvou matic je součinem transponovaných matic v obráceném pořadí:
  • $\left( \mathbf{A B} \right) ^\mathrm{T} = \mathbf{B}^\mathrm{T} \mathbf{A}^\mathrm{T} \,$

Odkazy

Související články

• Matice

Externí odkazy

• Petr Olšák - Lineární algebra
• Eduard Krajník - Maticový počet