Involuce (matematika)

Involuce je v matematice taková funkce, která je sama sobě inverzním zobrazením. Tedy taková funkce $f$, která pro všechna $x$ ze svého definičního oboru splňuje $f(f(x))=x$.

Vlastnosti

Každá involuce je nutně vzájemně jednoznačné zobrazení, jedná se tedy o permutaci dané množiny.

Počet možných involucí na konečné množině závisí na její mohutnosti a Heinrich August Rothe odhalil v roce 1800 rekurentní vztah, který udává počet možných involucí nprvkové množiny:

$a_0=a_1=1$

$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pro

Pro $n=0,1,\dots,$ jsou počáteční hodnoty této posloupnosti 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232. V rámci encyklopedie celočíselných posloupností má tato posloupnost označení A000085.

Příklady

Řada jednoduchých příkladů involucí je v geometrii. Jedná se například o osovou souměrnost v rovině, respektive o souměrnost podle nadroviny ve vícerozměrných Eukleidovských prostorech. Involucí je také středová souměrnost nebo kruhová inverze. Rovněž je involucí otočení v rovině o 180 stupňů.

V aritmetice (respektive obecněji v algebře) je involucí zobrazení na inverzní prvek, tedy v případě sčítání zobrazení přiřazující číslu opačné číslo, v případě násobení (ovšemže pouze pro invertibilní prvky) převrácená hodnota.

Pro komplexní čísla je příkladem involuce zobrazení na komplexně sdružené číslo.

Pro množiny matic je involuce transpozice matic.

Jednoduchými příklady z informatiky jsou „šifra“ ROT13 a bitová operace exkluzivní disjunkce s konstantou.