Inverzní zobrazení

Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení $f: A \rightarrow B$ přiřazuje prvky z množiny B prvkům množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení.

Definice

Je-li $f: A \rightarrow B$ zobrazení, neboli $f = \left \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \right \rbrace$, pak inverzní zobrazení je $f^{-1}: B \rightarrow A$ takové, že $f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b$ nebo také $(b, a) \in f^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in f$ (zde $f$ a $f^{-1}$ jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům $a, a'$ musí přiřazovat různé prvky $b, b'$ - jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Vlastnosti

Inverzní zobrazení je:

• prosté
• surjektivní („na“)
• $f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x$

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní.

Inverzní funkce

Mějme funkci $y = f(x)$ s definičním oborem $D$ s oborem hodnot $V$. Inverzní funkcí k funkci $f$ nazveme funkci $x = g(y)$ s definičním oborem $V$, která každému $y \in V$ přiřadí právě to $x \in D$, pro které platí $y = f(x)$. Inverzní funkce k funkce $f$ bývá také zapisována jako $f^{-1}$.

Je-li f prostá funkce, pak k ní lze nalézt inverzní funkci. V takovém případě je graf inverzní funkce k f osově souměrný s grafem f podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce $f(x) = x$ je inverzní sama k sobě.