Inverzní zobrazení

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Inverzní zobrazení k nějakému zobrazení f: A \rightarrow B přiřazuje prvky z množiny B prvkům množiny A, tedy obrazům zobrazení f jejich vzory. Laicky řečeno, inverzní zobrazení zobrazuje „opačným směrem“ než původní zobrazení.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Je-li f: A \rightarrow B zobrazení, neboli f = \left \lbrace (a, b) | a \in A, b \in B \right \rbrace, pak inverzní zobrazení je f^{-1}: B \rightarrow A takové, že f^{-1}(b) = a \Leftrightarrow f(a) = b nebo také (b, a) \in f^{-1} \Leftrightarrow (a, b) \in f (zde f a f^{-1} jsou ve smyslu relace). Z toho vyplývá, že zobrazení f musí být prosté, tzn. různým prvkům a, a' musí přiřazovat různé prvky b, b' - jinak by nebylo jednoznačně určeno, na co se má zobrazit prvek b v inverzním zobrazení.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Inverzní zobrazení je:

Ke každému vzájemně jednoznačnému zobrazení lze nalézt zobrazení inverzní.

Inverzní funkce[editovat | editovat zdroj]

Mějme funkci y = f(x) s definičním oborem D s oborem hodnot V. Inverzní funkcí k funkci f nazveme funkci x = g(y) s definičním oborem V, která každému y \in V přiřadí právě to x \in D, pro které platí y = f(x). Inverzní funkce k funkce f bývá také zapisována jako f^{-1}.

Je-li f prostá funkce, pak k ní lze nalézt inverzní funkci. V takovém případě je graf inverzní funkce k f osově souměrný s grafem f podle osy 1. a 3. kvadrantu. Z toho plyne, že identická funkce f(x) = x je inverzní sama k sobě.