Soustava rovnic

Soustava rovnic je úloha, při níž máme nalézt řešení systému rovnic

$F_1(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$

$F_2(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$

…

$F_m(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$,

kde $F_1,\,F_2, ..., \,F_m$ jsou libovolné funkce $n\,$ proměnných $x_1, \,x_2, ..., \,x_n$.

Uvedenou soustavu rovnic lze také zapsat ve tvaru

$\mathbf{F}(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$,

kde $\mathbf{F}$ označuje vektorovou funkci, jejímiž složkami jsou funkce $F_1(x_1,\,x_2,...,\,x_n)$, $F_2(x_1,\,x_2,...,\,x_n)$, …, $F_m(x_1,\,x_2,...,\,x_n)$.

Řešení soustavy rovnic

Jako řešení soustavy rovnic označíme každou uspořádanou n-tici $(y_1, \,y_2, ...,\,y_n)$, která vyhovuje dané soustavě rovnic.

Existuje-li řešení $y_i = 0\,$ pro všechna $i\,$, pak takové řešení označujeme jako triviální. Pokud je alespoň jedno $y_i\,$ nenulové, pak hovoříme o netriviálním řešení.

Ekvivalentní soustavy rovnic

Dvě soustavy rovnic jsou ekvivalentní, pokud každé řešení první soustavy je také řešením soustavy druhé a každé řešení druhé soustavy je řešením soustavy první.

Soustavu rovnic lze převést na ekvivalentní soustavu rovnic pomocí tzv. ekvivalentních úprav. Nejběžnějšími ekvivalentními úpravami jsou:

• úpravy převádějící jednu z rovnic soustavy na rovnici ekvivalentní
• záměna pořadí rovnic v soustavě
• přidání (nebo vynechání) rovnice, která je lineární kombinací ostatních rovnic soustavy
• přičtení lineární kombinace zbývajících rovnic soustavy k jedné z rovnic soustavy

Zkouška

Po nalezení řešení soustavy rovnic provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní soustavy rovnic. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní soustavy rovnic.

Druhy soustav

V obecném případě mohou jednotlivé rovnice, z nichž se soustava skládá, být jak algebraické tak i nealgebraické. V obecném případě je tedy řešení soustavy složité a obvykle je možné jej určit pouze numerickými metodami.

O něco jednodušší situace je v případě soustavy algebraických rovnic, což je soustava rovnic

$F_1(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$

$F_2(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$

…

$F_m(x_1,\,x_2,...,\,x_n) = 0$,

kde $F_1, \,F_2, ...,\, F_m$ jsou libovolné algebraické funkce $n\,$ proměnných $x_1, \,x_2, ..., \,x_n$.

Nejjednodušším případem je pak soustava lineárních algebraických rovnic.

Soustavy rovnic mohou obsahovat také diferenciální nebo integrální rovnice.

Související články

• Rovnice

Externí odkazy

• Řešení soustavy rovnic online