Steinitzova věta o výměně

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Steinitzova věta o výměně je důležité tvrzení z oblasti lineární algebry pojmenované po německém matematikovi Ernstu Steinitzovi. Hraje významnou roli v důkazech mnoha dalších tvrzení, například, že všechny báze vektorového prostoru mají stejnou mohutnost a prostor má tedy jednoznačně určenou dimenzi. Dalším příkladem může být důkaz věty, že pokud má prostor konečnou bázi, pak lze libovolnou lineárně nezávislou množinu doplnit na bázi.

Znění věty[editovat | editovat zdroj]

Nechť \scriptstyle X \equiv \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \} a \scriptstyle Y \equiv \{ \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \} jsou dvě množiny vektorů z vektorového prostoru \scriptstyle V. Nechť jsou dále vektory z množiny \scriptstyle X lineárně nezávislé a každý z nich lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny \scriptstyle Y. Pak platí, že \scriptstyle n \leq m. Pokud \scriptstyle n = m, tak je lineární obal množiny \scriptstyle X nutně roven lineárnímu obalu množiny \scriptstyle Y. Neboli \scriptstyle \{ X \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \}_\text{lin} = \{ \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin} = \{ Y \}_\text{lin}. (Výraz \scriptstyle \{ X \}_\text{lin} značí lineární obal množiny \scriptstyle X atd.). Dále, pokud platí ostrá nerovnost \scriptstyle n < m, tak existují navzájem různé indexy \scriptstyle i_1, \ldots, i_{m-n} \in \{1, \ldots, m\} takové, že

 \{ \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-n}} \}_\text{lin}.

Jinými slovy, mějme množinu \scriptstyle n lineárně nezávislých vektorů \scriptstyle X a dále množinu \scriptstyle m vektorů \scriptstyle Y. Nechť lze navíc libovolný vektor z množiny \scriptstyle X vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů z množiny \scriptstyle Y. Pak platí, že vektorů v množině \scriptstyle X nemůže být víc než vektorů v množině \scriptstyle Y. Pokud jich je stejně, tak se lineární obaly množin \scriptstyle X a \scriptstyle Y rovnají. Pokud je vektorů v množině \scriptstyle Y více než vektorů v \scriptstyle X, tak lze ke generátorům lineárního obalu množiny \scriptstyle X přidat vhodných \scriptstyle m-n dodatečných vektorů z množiny \scriptstyle Y tak, že tyto vektory dohromady generují lineární obal množiny \scriptstyle Y.

Protože se v daném vektorovém prostoru \scriptstyle V můžeme omezit na jeho podprostor \scriptstyle \{ Y \}_\text{lin}, který je současně vektorový prostor, lze Steinitzovu větu vyjádřit v kratší podobě. Vezměme rovnou \scriptstyle \{ Y \}_\text{lin} = V. Pak:

Nechť \scriptstyle V \equiv \{ \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin} je konečněrozměrný vektorový prostor dimenze \scriptstyle m > 0 a \scriptstyle X \equiv \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \} jeho podmnožina tvořená \scriptstyle n lineárně nezávislými vektory. Pak \scriptstyle n \leq m a prostor \scriptstyle V je generován vektory \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-n}} \} pro jisté, navzájem různé, indexy \scriptstyle i_1, \ldots, i_{m-n} \in \{ 1, \ldots, m \}.

Důkaz[editovat | editovat zdroj]

Proveďme důkaz neúplnou matematickou indukcí. Předpokládejme nejprve \scriptstyle n \leq m, poté ukážeme, že předpoklad \scriptstyle n > m vede ke sporu. Pro počáteční krok matematické indukce uvažujme lineární obal množiny \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \} vzniklé tak, že k vektorům z množiny \scriptstyle Y přidáme jeden ("první") vektor z množiny \scriptstyle X. O vektorech z množiny \scriptstyle X ovšem víme, že je lze vyjádřit pomocí vektorů z \scriptstyle Y a námi sestrojená množina je tak lineárně závislá. Existuje v ní tedy vektor \scriptstyle \vec{y}_{i_1} pro jistý index \scriptstyle i_1 \in \hat{m}, který lze nakombinovat ze zbylých vektorů této množiny (připomeňme, že \scriptstyle \hat{m} \equiv \{ 1, \ldots, m \}). Neboli

 \vec{y}_{i_1} \in \{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_{i_1 - 1}, \vec{y}_{i_1 + 1}, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin}.

Ačkoliv nám lineární závislost množiny vektorů zajišťuje, že v ní existuje vektor, který lze nakombinovat pomocí ostatních, mohli jsme s klidem vzít za tento vektor jeden z vektorů množiny \scriptstyle Y a ne opět vektor \scriptstyle \vec{x}_1. To, že je množina \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \} lineárně závislá totiž znamená, že existuje netriviální lineární kombinace \scriptstyle \alpha_0 \vec{x}_1 + \sum_{i=1}^m \alpha_i \vec{y}_i rovná nulovému vektoru. Kdyby \scriptstyle \alpha_0 \neq 0 a všechny ostatní koeficienty byly nulové, byl by to spor s lineární nezávislostí množiny \scriptstyle X. Existuje tedy nenulový koeficient \scriptstyle \alpha_{i_1}, kde \scriptstyle i_1 \in \hat{m} je jistý index vektoru z \scriptstyle Y. Tímto koeficientem tedy můžu dělit a vyjádřit dané \scriptstyle \vec{y}_{i_1} pomocí zbylých vektorů způsobem

 \vec{y}_{i_1} = \frac{1}{\alpha_{i_1}} \left( -\alpha_0 \vec{x}_1 - \sum_{i=1,i \neq i_1}^m \alpha_i \vec{y}_i \right).

Protože vektor \scriptstyle \vec{x}_1 lze nakombinovat vektory z \scriptstyle Y, je \scriptstyle \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin}. Obdobně pro \scriptstyle \vec{y}_{i_1} a máme tedy

 \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_{i_1 - 1}, \vec{y}_{i_1 + 1}, \ldots, \vec{y}_m \}_\text{lin},

viz (druhé) tvrzení v oddíle Ostatní v článku lineární obal. Přikročme nyní k důkazu indukčního kroku. Předpokládejme, že pro všechna přirozená \scriptstyle k \geq 1, kde \scriptstyle k < n, existují navzájem různé indexy \scriptstyle i_1, \ldots, i_{m-k} \in \hat{m} tak, že

 \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-k}} \}_\text{lin}.

Neboť z předpokladů věty platí, že \scriptstyle \vec{x}_{k+1} \in \{ Y \}_\text{lin}, je množina \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, \vec{x}_{k+1}, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-k}} \} lineárně závislá, přičemž množina \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_{k+1} \} je lineárně nezávislá. V první jmenované množině tedy existuje vektor \scriptstyle \vec{y}_{i_p} pro jisté \scriptstyle i_p \in \hat{m} (\scriptstyle p \in \widehat{m-k}), který lze vyjádřit pomocí zbylých vektorů. Postupem obdobným tomu pro \scriptstyle \vec{y_{i_1}} dospíváme k rovnosti

 \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, \vec{x}_{k+1}, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_p-1}, \vec{y}_{i_p+1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-k}} \}_\text{lin}.

Přeznačíme-li indexy u vektorů v předchozím vzorci, dostáváme vztah

 \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_k, \vec{x}_{k+1}, \vec{y}_{j_1}, \ldots, \vec{y}_{j_{m-k-1}} \}_\text{lin},

který dokončuje indukční krok. Pro případ \scriptstyle n \leq m máme tedy větu dokázánu. Předpokládejme nyní, že \scriptstyle n > m. Kdybychom postupovali postupem stejným jako výše, tak bychom se dostali postupným přidáváním vektorů k původnímu lineárnímu obalu do stavu, kdy chceme přidat vektor \scriptstyle \vec{x}_{m+1}, nemáme už ale žádný zbylý vektor z \scriptstyle Y, za který bychom ho mohli vyměnit. Neboli bychom měli

 \{ Y \}_\text{lin} = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_m \}_\text{lin}.

Z předpokladů věty ale \scriptstyle \vec{x}_{m+1} \in \{ Y \}_\text{lin} a podle rovnosti výše můžeme tento vektor vyjádřit pomocí zbylých vektorů z množiny \scriptstyle X. To je ale spor s lineární nezávislostí množiny \scriptstyle X, což dokončuje důkaz věty.

Aplikace věty[editovat | editovat zdroj]

Jako příklad užití Steinitzovy věty si dokažme následující tvrzení:

Každou lineárně nezávislou podmnožinu konečněrozměrného vektorového prostoru lze doplnit na bázi tohoto prostoru.

Mějme tedy vektorový prostor \scriptstyle V konečné (nenulové) dimenze \scriptstyle m. Existuje v něm tedy \scriptstyle m-členná báze, označme si ji \scriptstyle Y \equiv \{ \vec{y}_1, \ldots, \vec{y}_m \}. Dále mějme podmnožinu prostoru \scriptstyle V, kterou si označíme \scriptstyle X \equiv \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \}, tvořenou \scriptstyle n lineárně nezávislými vektory. Steinitzova věta nám říká, že \scriptstyle n \leq m, a navíc, že existují navzájem různé indexy \scriptstyle i_1, \ldots, i_{m-n} \in \hat{m} tak, že

 V = \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-n}} \}_\text{lin}.

Abychom dokončili důkaz, musíme ještě ukázat, že soubor vektorů \scriptstyle \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n, \vec{y}_{i_1}, \ldots, \vec{y}_{i_{m-n}} \} je lineárně nezávislý. Kdyby ale byl lineárně závislý, tak z něj můžu vybrat lineárně nezávislou podmnožinu generující prostor \scriptstyle V. Tato množina by měla nejvýše \scriptstyle m-1 prvků, což je ve sporu s tím, že dimenze prostoru \scriptstyle V je \scriptstyle m.

Literatura[editovat | editovat zdroj]

  • PYTLÍČEK, Jiří. Lineární algebra a geometrie. Praha : Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2008. ISBN 978-80-01-04063-8.   – skripta FJFI ČVUT

Související články[editovat | editovat zdroj]