Uzávěr množiny

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Uzávěr množiny (angl. closure) je nejmenší uzavřená množina topologického prostoru, která danou množinu obsahuje. Uzávěr M značíme většinou \overline{M}, popř. \mathrm{cl}\,M.

Neformální úvod[editovat | editovat zdroj]

Pojem uzavřená množina lze názorně definovat na reálných číslech nebo v Euklidovském prostoru, abstraktněji v metrických prostorech a ještě obecněji v topologickém prostoru.

Níže uvedená definice a vlastnosti platí pro každou z právě vyjmenovaných situací.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Průnik všech uzavřených množin topologického prostoru X, které obsahují M jako svou podmnožinu, nazveme uzávěr množiny M, značíme \overline{M}.

\overline{M} = \bigcap \{ U \subseteq X: U je uzavřená \land M \subseteq U\}

Ekvivalentně lze definovat uzávěr množiny M jako množinu \overline{M} všech bodů topologického prostoru, jejichž libovolné okolí U má neprázdný průnik s M.

\overline{M} = \{ x \in X: \forall U(x)\quad U(x) \cap M \neq \emptyset\}

Vnitřní a vnější body[editovat | editovat zdroj]

Uzávěr množiny \mathbf{A} \subset \mathbf{M} metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) lze také vyjádřit s pomocí rozdílu množin jako \mathbf{M} \backslash \mathrm{int}(\mathbf{M} \backslash \mathrm{A}), kde \mathrm{int} \mathbf{X} označuje vnitřek množiny \mathbf{X}.

Vnitřek množiny tvoří množina všech vnitřních bodů. Bod a \in \mathbf{X} označíme jako vnitřní bod množiny \mathbf{X} \subseteq \mathbf{M}, pokud existuje takové r > 0, že pro množinu \mathbf{B}(a,r)= \{x \in \mathbf{M}:\rho(a,x)<r\} platí \mathbf{B}(a,r) \subset \mathbf{X}.

Pokud platí \mathbf{X} = \mathrm{int} \mathbf{X}, pak se množina \mathbf{X} nazývá otevřená (v metrice \rho).

Pro množiny \mathbf{A} \subset \mathbf{M}, \mathbf{B} \subset \mathbf{M} metrického prostoru (\mathbf{M},\rho) platí vztahy

  • \mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathbf{A}
  • \mathrm{int} \, \mathrm{int} \mathbf{A} = \mathrm{int} \mathbf{A}
  • \mathrm{int} (\mathbf{A} \cap \mathbf{B}) = \mathbf{A} \cap \mathbf{B}
  • \mathrm{int} (\mathbf{A} \cup \mathbf{B}) \subset \mathbf{A} \cup \mathbf{B}
  • pokud \mathbf{A} \subset \mathbf{B}, pak platí také \mathrm{int} \mathbf{A} \subset \mathrm{int} \mathbf{B}
  • každá otevřená podmnožina množiny \mathbf{A} je podmnožinou \mathrm{int} \mathbf{A}
  • množinu \mathrm{int} \mathbf{A} získáme jako sjednocení všech otevřených podmnožin množiny \mathbf{A}.


Je-li \mathbf{A} \subset \mathbf{M} částí metrického prostoru (\mathbf{M},\rho), pak vnitřek množiny \mathbf{M} \backslash \mathbf{A} nazveme vnějškem množiny \mathbf{A}. Body nacházející se ve vnějšku \mathbf{A} nazýváme vnějšími body množiny \mathbf{A}.

Pokud existuje takové okolí \mathbf{U} bodu a \in \mathbf{A}, že \mathbf{U} \cap \mathbf{A} = \{a\}, pak bod a nazýváme izolovaným bodem.

Jestliže každé okolí bodu x \in \mathbf{M} obsahuje prvek množiny \mathbf{A} \subseteq \mathbf{M} různý od x, pak bod x se nazývá hromadným bodem množiny \mathbf{A}.

Bod uzávěru je hromadným bodem množiny \mathbf{A} (pokud se nejedná o izolovaný bod).

Vlastnosti uzávěru[editovat | editovat zdroj]

  • Z toho, že průnik libovolného počtu uzavřených množin je uzavřená množina, je i uzávěr množiny uzavřená množina. Naopak platí, že množina je uzavřená pravě tehdy, když je rovna svému uzávěru, tzn. \overline \mathbf{M} = \mathbf{M}.
  • Uzávěr celého X je X, tzn. \overline X = X.
  • Pro \mathbf{A} \subseteq \mathbf{X}, \mathbf{B} \subseteq \mathbf{X} platí
    • \mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{A}
    • \overline {\overline {\mathbf{A}}} = \overline \mathbf{A}
    • \overline {(\mathbf{A} \cap \mathbf{B})} \subseteq \overline \mathbf{A} \cap \overline \mathbf{B} (Ale pozor: obrácená inkluze obecně neplatí! Zvažme například situaci X=\mathbb{R},\,\mathbf{A}=[0,1) a \mathbf{B}=[1,2].)
    • \overline {(\mathbf{A} \cup \mathbf{B})} = \overline \mathbf{A} \cup \overline \mathbf{B}
    • pokud \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}, pak \overline \mathbf{A} \subseteq \overline \mathbf{B}
    • je-li \mathbf{A} je podmnožinou uzavřené množiny \mathbf{B}, pak \overline \mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}

Související články[editovat | editovat zdroj]