Vnitřek množiny

Vnitřek množiny (angl. interior) je největší otevřená množina topologického prostoru, kterou daná množina obsahuje. Vnitřek $M$ značíme většinou $M^O$, občas Int $M$.

Definice

Sjednocení všech otevřených množin topologického prostoru $X$ s topologií $\tau$, které jsou podmnožinou $M$, nazveme vnitřek množiny $M$, značíme $M^O$.

$M^O = \bigcup \{ U \in \tau: U \subseteq M \}$

Ekvivalentně lze definovat vnitřek množiny $M$ jako množinu $M^O$ všech bodů topologického prostoru, které mají nějaké své okolí $U$ v $M$.

$M^O = \{ x \in X: \exists U(x) \subseteq M\}$

Vlastnosti průniku

Z toho, že sjednocení libovolného počtu otevřených množin je otevřená množina, je i vnitřek množiny otevřená množina. Naopak platí, že množina je otevřená pravě tehdy, když je rovna svému vnitřku.

Vnitřek prázdné množiny je prázdná množina, vnitřek celého $X$ je $X$.

Související články

• Uzávěr množiny
• Uzavřená množina