Princip maximality
Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.
Obsah |
[editovat] Formulace principu
[editovat] Pomocná definice - řetězec
Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R. Podmnožinu 
nazveme řetězcem, pokud je tato množina lineárně uspořádána relací R.
[editovat] Princip maximality
Pokud je množina A uspořádána relací R tak, že každý řetězec je shora omezený, pak pro každý prvek 
existuje maximální prvek 
takový, že platí 
.
[editovat] Princip minimality
Vzhledem k dualitě pojmů týkajících se upořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro minimální prvky:
Pokud je množina A uspořádána relací R tak, že každý řetězec je zdola omezený, pak pro každý prvek existuje minimální prvek 
takový, že platí 
.
Tento princip je ekvivalentní obdobou principu maximality.
[editovat] Postavení principu v teorii množin
Princip maximality přibližně v dnes používané formulaci byl vysloven a dokázán Kazimierzem Kuratowským v roce 1922 za použití axiomu výběru. Princip byl později v roce 1935 znovu objeven Maxem Zornem, který zpopularizoval jeho použití v mnoha odvětvích matematiky, proto je princip zpravidla nazýván Zornovo lemma. V literatuře bylo popsáno až několik desítek tvrzení podobných principu maximality, zaručujících existenci jistých maximálních prvků v různých kontextech za splnění určitých podmínek; nejstarší se objevují v práci Felixe Hausdorffa z roku 1907.[1]
Byla dokázána i opačná implikace, tj. tvrzení, že z principu maximality plyne axiom výběru. Princip maximality tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s axiomem výběru (jako například princip dobrého uspořádání), které jsou nezávislé na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou ZF. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k ZF získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako ZFC.
[editovat] Příklady použití principu
[editovat] Trichotomie mohutnosti
Relace „mít stejnou nebo menší mohutnost jako“ je trichotomická pro všechny množiny (tj. na univerzální třídě).
Jinými slovy: z principu maximality plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).
[editovat] Rozklady nekonečných množin
Předpokládejme, že A je nekonečná množina. Potom platí, že
- Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její kartézský součin s dvouprvkovou množinou:
- Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina:
[editovat] Související články
 |
Související články obsahuje Portál Matematika |
[editovat] Reference
- ↑ Paul J. Campbell, The origin of "Zorn's lemma", Historia Mathematica 5 (1978), č. 1, s. 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2
