Princip maximality

Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.

Formulace principu

Pomocná definice - řetězec

Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R. Podmnožinu $B \subseteq A$ nazveme řetězcem, pokud je tato množina lineárně uspořádána relací R.

Princip maximality

Pokud je množina $A$ částečně uspořádána relací $R$ (tedy $(A,R)$ je částečně uspořádaná množina) tak, že každý řetězec je shora omezený, pak v množině $A$ existuje maximální prvek.

Princip minimality

Vzhledem k dualitě pojmů týkajících se upořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro minimální prvky:

Pokud je množina A částečně uspořádána tak, že každý řetězec je zdola omezený, pak v $A$ existuje minimální prvek.

Tento princip je ekvivalentní obdobou principu maximality.

Postavení principu v teorii množin

Princip maximality přibližně v dnes používané formulaci byl vysloven a dokázán Kazimierzem Kuratowským v roce 1922 za použití axiomu výběru. Princip byl později v roce 1935 znovu objeven Maxem Zornem, který zpopularizoval jeho použití v mnoha odvětvích matematiky, proto je princip zpravidla nazýván Zornovo lemma. V literatuře bylo popsáno až několik desítek tvrzení podobných principu maximality, zaručujících existenci jistých maximálních prvků v různých kontextech za splnění určitých podmínek; nejstarší se objevují v práci Felixe Hausdorffa z roku 1907.

Byla dokázána i opačná implikace, tj. tvrzení, že z principu maximality plyne axiom výběru. Princip maximality tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s axiomem výběru (jako například princip dobrého uspořádání), které jsou nezávislé na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou ZF. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k ZF získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako ZFC.

Příklady použití principu

Trichotomie mohutnosti

Relace „mít stejnou nebo menší mohutnost jako“ je trichotomická pro všechny množiny (tj. na univerzální třídě).
Jinými slovy: z principu maximality plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).

Rozklady nekonečných množin

Předpokládejme, že A je nekonečná množina. Potom platí, že

1. Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její kartézský součin s dvouprvkovou množinou: $A \approx A \times \{ 0,1 \} \,\!$
2. Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina: $A \approx A \times A \,\!$

Související články

• Axiom výběru
• Princip dobrého uspořádání
• Zermelo-Fraenkelova teorie množin
• Mohutnost