Princip maximality

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Princip maximality označovaný také někdy zkratkou PM a mimo teorii množin známější jako Zornovo lemma, je tvrzení z teorie množin, konkrétněji z teorie uspořádání, které se zabývá existencí maximálních prvků v uspořádané množině.

Formulace principu[editovat | editovat zdroj]

Pomocná definice - řetězec[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že množina A je uspořádána relací R. Podmnožinu  B \subseteq A nazveme řetězcem, pokud je tato množina lineárně uspořádána relací R.

Princip maximality[editovat | editovat zdroj]

Pokud je množina  A částečně uspořádána relací  R (tedy  (A,R) je částečně uspořádaná množina) tak, že každý řetězec je shora omezený, pak v množině  A existuje maximální prvek.

Princip minimality[editovat | editovat zdroj]

Vzhledem k dualitě pojmů týkajících se uspořádání lze „obrácením znamének“ formulovat podobné tvrzení i pro minimální prvky:

Pokud je množina A částečně uspořádána tak, že každý řetězec je zdola omezený, pak v  A existuje minimální prvek.

Tento princip je ekvivalentní obdobou principu maximality.

Postavení principu v teorii množin[editovat | editovat zdroj]

Princip maximality přibližně v dnes používané formulaci byl vysloven a dokázán Kazimierzem Kuratowským v roce 1922 za použití axiomu výběru. Princip byl později v roce 1935 znovu objeven Maxem Zornem, který zpopularizoval jeho použití v mnoha odvětvích matematiky, proto je princip zpravidla nazýván Zornovo lemma. V literatuře bylo popsáno až několik desítek tvrzení podobných principu maximality, zaručujících existenci jistých maximálních prvků v různých kontextech za splnění určitých podmínek; nejstarší se objevují v práci Felixe Hausdorffa z roku 1907.[1]

Byla dokázána i opačná implikace, tj. tvrzení, že z principu maximality plyne axiom výběru. Princip maximality tedy patří mezi tvrzení ekvivalentní s axiomem výběru (jako například princip dobrého uspořádání), které jsou nezávislé na základních axiomech teorie množin označovaných zkratkou ZF. Přidáním kteréhokoliv z těchto principů (nebo přidáním samotného axiomu výběru) k ZF získávám „stejně silnou“ axiomatiku, která je obvykle označována jako ZFC.

Příklady použití principu[editovat | editovat zdroj]

Trichotomie mohutnosti[editovat | editovat zdroj]

Relace „mít stejnou nebo menší mohutnost jako“ je trichotomická pro všechny množiny (tj. na univerzální třídě).
Jinými slovy: z principu maximality plyne, že mohutnosti každých dvou množin lze porovnat. Toto tvrzení nelze dokázat ze základních axiomů ZF - je nutné předpokládat platnost principu maximality (nebo axiomu výběru).

Rozklady nekonečných množin[editovat | editovat zdroj]

Předpokládejme, že A je nekonečná množina. Potom platí, že

  1. Množinu A lze rozložit na dvě nekonečné části, neboť pro platí, že A má stejnou mohutnost, jako její kartézský součin s dvouprvkovou množinou:  A \approx A \times \{ 0,1 \} \,\!
  2. Množinu A lze rozložit na nekonečně mnoho nekonečných částí, neboť platí, že A má stejnou mohutnost, jako její druhá kartézská mocnina:  A \approx A \times A \,\!

Související články[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

  1. Paul J. Campbell, The origin of "Zorn's lemma", Historia Mathematica 5 (1978), č. 1, s. 77–89. doi:10.1016/0315-0860(78)90136-2