Trichotomická relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice[editovat | editovat zdroj]

Relace  R \,\! na množině  X \,\! je trichotomická, pokud platí:
 ( \forall a,b \isin X )( [a,b] \isin R \vee [b,a] \isin R \vee a = b) \,\!

Řečeno lidsky: trichotomie relace znamená, že každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Relace „je menší“  < \,\! i „je menší nebo rovno“  \leq \,\! jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou \subseteq \,\! není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou  a,b \isin X, a \neq b \,\! potom  \{ a \}, \{ b \} \isin \mathbb{P}(X) \,\! ,
ale neplatí ani  \{ a \} \subseteq \{ b \} \,\! , ani  \{ b \} \subseteq \{ a \} \,\! , ani  \{ a \} = \{ b \} \,\! .

Motivace[editovat | editovat zdroj]

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články[editovat | editovat zdroj]