Trichotomická relace

Trichotomická relace je pojem z teorie množin, používaný především v teorii uspořádání.

Definice

Relace $R \,\!$ na množině $X \,\!$ je trichotomická, pokud platí:
$( \forall a,b \isin X )( [a,b] \isin R \vee [b,a] \isin R \vee a = b) \,\!$

Řečeno lidsky: trichotomie relace znamená, že každé dva různé prvky jsou ve vztahu daném touto relací (v případě uspořádání bychom řekli, že jsou srovnatelné).

Příklady

Relace „je menší“ $< \,\!$ i „je menší nebo rovno“ $\leq \,\!$ jsou trichotomické na množině přirozených čísel, racionálních čísel i reálných čísel.

Relace „je podmnožinou“ $\subseteq \,\!$ není trichotomická na potenční množině žádné množiny, která obsahuje alespoň dva prvky.
Pokud jsou $a,b \isin X, a \neq b \,\!$ potom $\{ a \}, \{ b \} \isin \mathbb{P}(X) \,\!$,
ale neplatí ani $\{ a \} \subseteq \{ b \} \,\!$, ani $\{ b \} \subseteq \{ a \} \,\!$, ani $\{ a \} = \{ b \} \,\!$.

Motivace

Trichotomická relace svojí definicí trochu připomíná definici úplné relace, ale je o něco obecnější - zatímco pouze neostré uspořádání může být úplné, trichotomické může být i ostré uspořádání i neostré uspořádání.
Toho se využívá v obecné definici lineárního uspořádání, která je stejná pro ostré i neostré uspořádání.

Související články

• Uspořádání
• Lineární uspořádání
• Binární relace
• Úplná relace
• Ireflexivní relace