Univerzální třída

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Univerzální třída je matematický pojem z oboru teorie množin označující třídu všech množin.

Obsah

1 Označení a formální definice
2 Vlastnosti univerzální třídy
3 Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF
4 Související články

[editovat] Označení a formální definice

Univerzální třída se obvykle značí $\mathbb{V} \,\!$ a bývá definována jako $\, \mathbb{V}=\{x:x=x\}$ . S ohledem na to, že $= \,\!$ je reflexivní relace, patří do takto definované třídy všechny množiny.

[editovat] Vlastnosti univerzální třídy

Univerzální třída $\mathbb{V} \,\!$ obsahuje každou množinu nejen jako svůj prvek, ale zároveň také jako svojí podmnožinu.

Tento závěr vyplývá z faktu, že prvkem množiny může být opět pouze množina, tedy každý prvek každé množiny patří do $\mathbb{V} \,\!$ . Pokud ale každý prvek nějaké množiny patří do $\mathbb{V} \,\!$ , pak je podle definice tato množina podmnožinou $\mathbb{V} \,\!$ .

Univerzální třída $\mathbb{V} \,\!$ není množina (je to tedy vlastní třída).

Pokud by $\mathbb{V} \,\!$ byla množina, pak je podle axiomu potence množinou také její potenční množina $\mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\!$ . Podle Cantorovy věty má $\mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\!$ větší mohutnost než $\mathbb{V} \,\!$ , ale podle předchozího odstavce je zároveň $\mathbb{P}(\mathbb{V}) \,\!$ podmnožinou $\mathbb{V} \,\!$ , což je sporné tvrzení (podmnožina nemůže mít větší mohutnost, než celá množina).

Univerzální třída $\mathbb{V} \,\!$ není jedinou vlastní třídou - existují i „menší“ vlastní třídy, například třída $\mathbb{O}n \,\!$ všech ordinálních čísel nebo třída $\mathbb{C}n \,\!$ všech kardinálních čísel.

To mimo jiné znamená, že ve vztahu z prvního odstavce $x \isin \mathbb{V} \implies x \subseteq \mathbb{V} \,\!$ nelze obrátit implikaci.

[editovat] Vztah k různým dodatečným předpokladům ZF

Vlastnosti univerzální třídy se mohou značně lišit v závislosti na tom, jaké dodatečné předpoklady přijmeme k axiomatizaci Zermelo-Fraenkelovy teorie množin bez axiomu fundovanosti (tato teorie se obvykle značí $Z F -$ ).

axiom fundovanosti (AF): Pak $\mathbb{V} \,\!$ je rovna fundovanému jádru $\mathbb{WF} \,\!$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny iterováním operace potence)
axiom konstruovatelnosti (V=L): Pak $\mathbb{V} \,\!$ je rovna třídě konstruovatelných množin $\mathbb{L} \,\!$ (třídě, která vznikne z prázdné množiny postupným uzavíráním na Gödelovské operace)
axiom silného výběru (AS): Pak existuje bijekce mezi $\mathbb{V} \,\!$ a třídou $\mathbb{O}n \,\!$ všech ordinálních čísel.
axiom silného výběru (AS) + axiom superuniverzality (ASU): Pak existuje netriviální elementární vnoření $\mathbb{V} \,\!$ do $κ$ -saturované tranzitivní třídy.