Logaritmická spirála

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání
Logaritmická spirála

Logaritmická spirála je rovinná křivka (spirála), jejíž poloměr roste exponenciálně s velikostí úhlu.

V polární soustavě souřadnic (r, \theta) lze tuto spirálu zapsat rovnicí

r = ae^{b\theta},

nebo ekvivalentně

\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

kde

a, b > 0 a e je Eulerovo číslo.

Vlastnosti[editovat | editovat zdroj]

Důležitými body jsou pól a počátek.

  • Pól je bod, kolem kterého se spirála „ovíjí“. Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [0,0] souřadné soustavy.
  • Počátek spirály je bod, od kterého se začíná spirála vykreslovat. Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [a, 0].

Paprsek vycházející z pólu spirály protíná spirálu v bodech, jejichž vzdálenosti od pólu tvoří geometrickou posloupnost.

Tečný úhel je definován jako úhel, který svírá pro daný bod spirály vektor poloměru s tečnou ve stejném bodě. Spojnice pólu spirály a libovolného jejího bodu protíná logaritmickou spirálu vždy pod stejným tečným úhlem. Proto se logaritmická spirála také nazývá ekviangulární (rovnoúhlá) spirála (René Descartes, 1638).

Další možné vyjadření rovnice logaritmické spirály získáme jednoduchou úpravou:

\ln (r/a) = b \theta

Z tohoto vztahu také vznikl název „logaritmická spirála“.

Logaritmické spirály v přírodě[editovat | editovat zdroj]

Výsledkem některých přírodních jevů jsou útvary, které se podobají logaritmickým spirálám. Zde je výčet několika příkladů:

  • Dráha, po níž se draví ptáci (sokoli) přibližují ke své kořisti. Rovnoúhlost spirály jim umožňuje pozorovat kořist pod stálým úhlem.[1][2]
  • Dráha, po níž se hmyz přibližuje ke zdroji světla.[3]
Související informace naleznete také v článcích Zlatý řez#Zlatý řez v přírodě a Fibonacciho posloupnost#Význam.

Odkazy[editovat | editovat zdroj]

Reference[editovat | editovat zdroj]

V tomto článku byl použit překlad textu z článku Logarithmic spiral na anglické Wikipedii.

  1. CHIN, Gilbert J.. Organismal Biology: Flying Along a Logarithmic Spiral. Science. 8 December 2000, roč. 290, čís. 5498, s. 1857. Dostupné online. DOI:10.1126/science.290.5498.1857c. (anglicky) 
  2. http://fyzika.jreichl.com/main.article/print/1465-zlaty-obdelnik-a-logaritmicka-spirala
  3. John Himmelman. Discovering Moths: Nighttime Jewels in Your Own Backyard. [s.l.] : Down East Enterprise Inc, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-89272-528-1. S. 63. (anglicky) 
  4. G. Bertin and C. C. Lin. Spiral structure in galaxies: a density wave theory. [s.l.] : MIT Press, 1996. Dostupné online. ISBN 978-0-262-02396-2. S. 78. (anglicky) 
  5. David J. Darling. The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes. [s.l.] : John Wiley and Sons, 2004. Dostupné online. ISBN 978-0-471-27047-8. S. 188. (anglicky) 
  6. Andrew Gray. Treatise on physics, Volume 1. [s.l.] : Churchill, 1901. Dostupné online. S. 356–357. (anglicky) 
  7. Michael Cortie. Spiral symmetry. [s.l.] : World Scientific, 1992. Dostupné online. ISBN 978-981-02-0615-4. Kapitola The form, function, and synthesis of the molluscan shell, s. 370. (anglicky) 

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]