Geometrická posloupnost

Geometrická posloupnost je druh matematické posloupnosti, kde každý člen kromě prvního je stálým násobkem předchozího členu. Tento násobek se nazývá kvocient geometrické posloupnosti a pro posloupnosti s nenulovými členy je roven podílu libovolného členu kromě prvního a členu předchozího.

Geometrickou posloupnost s nezápornými členy lze chápat jako zúžení exponenciální funkce na obor přirozených čísel (připouštíme však i základ 0 a 1) a proto i pro svou jednoduchost je jedním z nejdůležitějších typů posloupností.

Vyjádření členů posloupnosti

Pro vyjádření n-tého členu geometrické posloupnosti s kvocientem q lze použít různé vztahy.

Rekurentní zadání

Geometrické posloupnosti lze definovat jako řešení lineární rekurentní rovnice 1. řádu s konstantními koeficienty:

$a_{n+1} =a_n \cdot q$

Řešením lze zjistit vzorec pro libovolný člen:

$\quad a_2=a_1\cdot q, \quad a_3 = a_1\cdot q^2, \quad \ldots, \quad a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$

První člen a₁ má libovolnou hodnotu (je to tzv. počáteční podmínka), obecný vztah pro n-tý člen se dokáže snadno matematickou indukcí.

Zadání vzorcem pro n-tý člen

$a_n=a_1 \cdot q^{n-1}$.

Pro případ $q=0$ používáme $0^0=1$.

Příklad

Například je-li $a_1 = 2, q = 3$, pak několik prvních členů geometrické posloupnosti je: 2, 6, 18, 54, 162, 486 …

Pro $a_1 = 1, q = -1$ se jedná o posloupnost 1, -1, 1, -1, ...

Součet prvních n členů

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti se vypočítá (pro q≠1):

$s_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1} = a_1 \cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

a pro q=1 samozřejmě (jedná se pak o konstantní aritmetickou posloupnost):

$s_n = n \cdot a_1$

Tento zvláštní případ lze také dostat z předchozího vzorce limitním přechodem pro $q->1$.

Vztahy platí v libovolném komutativním tělese, např. komplexních čísel.

Příklad

Součet prvních pěti členů posloupnosti z předchozího příkladu ($a_1 = 2, q = 3$) je:

$s_5 = 2 \cdot \frac{3^5-1}{3-1} = 242$

Odvození vzorce

Součet prvních n členů geometrické posloupnosti lze vyjádřit jako $s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \ldots + a_1q^{n-1}$.

Vynásobíme-li obě strany rovnice kvocientem q, dostaneme $s_nq = a_1q + a_1q^2 + a_1q^3 + \ldots + a_1q^n$.

Odečtením první rovnice od druhé dostaneme $s_n q - s_n = a_1 q^n - a_1$.

Takže (je-li q různé od 1), platí

$s_n = a_1 \frac{q^n - 1}{ q - 1}$.

Pro q = 1 je součet prvních n členů triviální, jedná se o (konstantní) aritmetickou posloupnost (lze dostat i limitním přechodem),

$s_n = n a_1.$

Jiný způsob odvození vzorce

Součet prvních $n$ členů posloupnosti lze spočítat „hrubou silou“ následovně:

$s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n$,

kde členy $a_2 \ldots a_n$ lze vyjádřit pomocí $a_1$:

$s_n = a_1 + a_1 q + \ldots + a_1 q^{n-1}$,

přičemž ze součtu lze vytknout $a_1$:

$s_n = a_1 \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)$.

Obdobně lze získat i vztah pro součet prvních $n+1$ členů (ve skutečnosti nás $s_{n+1}$ příliš nezajímá, ale bude se hodit pro další odvozování):

$s_{n+1} = a_1 + a_2 + \ldots + a_{n+1} = a_1 \left( 1 + q + \ldots + q^n \right)$

Tento vzorec se ovšem velmi podobá předchozímu vztahu pro $s_n$. V podstatě lze $s_{n+1}$ vypočítat z $s_n$ dvěma způsoby:

• Součet $s_{n+1}$ má o jeden (poslední) člen více než $s_n$:

$s_{n+1} = s_n + a_1 q^n \,$

• Závorka $\left( 1 + q + \ldots + q^n \right)$ v $s_{n+1}$ je vlastně závorka $\left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)$ z $s_n$ vynásobená $q$ a ještě k ní je zleva přičtena 1:

$\left( 1 + q + \ldots + q^n \right) = 1 + q \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)$

Po vynásobení $a_1$ lze tuto skutečnost aplikovat na $s_{n+1}$ a $s_n$:

$a_1 \cdot \left( 1 + q + \ldots + q^n \right) = a_1 \cdot 1 + a_1 \cdot q \left( 1 + q + \ldots + q^{n-1} \right)$

$s_{n+1} = a_1 + q s_n \,$

Získali jsme tak dvě různé možnosti, jak vypočítat $s_{n+1}$. Protože tyto dvě možnosti musí dávat stejný výsledek, lze mezi ně položit rovnítko:

$s_n + a_1 q^n = a_1 + q s_n \,$

Z takto sestavené rovnice lze po několika úpravách získat hledaný vzorec pro výpočet $s_n$ (v tomto okamžiku už pro nás vlastní součet $s_{n+1}$ přestává být zajímavý):

$s_n - q s_n = a_1 - a_1 q^n \,$

$s_n \left( 1 - q \right) = a_1 \left( 1 - q^n \right) \,$

$s_n = a_1 \frac{ 1 - q^n }{ 1 - q }$

Geometrická řada

Součet členů geometrické posloupnosti je označován jako geometrická řada.

Součet geometrické řady je dán jako limita posloupnosti n-tých částečných součtů. Platí tedy

$\lim_{n \to \infty} s_n =\lim_{n \to \infty} \frac{a_1}{1-q} + \lim_{n \to \infty}\frac{a_1\cdot q^n}{q-1}\rightarrow \lim_{n \to \infty}s_n = \left\{ \begin{matrix} \frac{a_1}{1-q} & \mbox{ pro } \left|q\right|<1 \\ \pm\infty, & \mbox{ pro } q\geq 1 \\ \mbox{nekonverguje (osciluje)} & \mbox{ pro } q\leq -1\end{matrix} \right.$

Geometrická řada tedy konverguje pouze tehdy, je-li absolutní hodnota kvocientu q menší než 1.

Souvislost s geometrickým průměrem

Pro geometrickou posloupnost komplexních čísel platí, že absolutní hodnota každého členu kromě prvního je geometrickým průměrem absolutních hodnot sousedních členů:

$\ |a_n| = \sqrt{|a_{n-1}| \cdot |a_{n+1}|}$

Obráceně pokud tato vlastnost platí pro všechny členy posloupnosti (s nezápornými členy) počínaje druhým, tak se jedná o geometrickou posloupnost. Dokáže se např. převedením na aritmetickou posloupnost (logaritmováním).

Souvislost s aritmetickou posloupností

Je-li posloupnost $g_n$ geometrická s kladnými členy, tak je posloupnost $\quad \log_b g_n$ aritmetická (pro libovolný základ b>0, b≠1).

Je-li posloupnost $a_n$ aritmetická, tak je posloupnost $b^{a_n}$ geometrická (pro libovolný základ b≥0).

Související články

• Aritmetická posloupnost
• Harmonická posloupnost
• Aritmeticko-geometrická posloupnost
• Mocninná řada
• Logaritmická stupnice