Geometrický průměr

Geometrický průměr n nezáporných čísel $x_1, x_2, \dots, x_n$ je definován jako n-tá odmocnina jejich součinu:

$G ( x_1,x_2,\dots,x_n) = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n} = \left( \prod_{i=1}^{n} x_i \right)^{\frac{1}{n}}$.

Geometrický průměr je hodnota, která udává v jistém smyslu typickou hodnotu souboru čísel tím, že nahrazuje hodnoty, co se týče jejich součinu.

Příklad

Geometrický průměr se používá např. na koeficienty růstu pro výpočet průměrného tempa růstu: Pokud např. tempo růstu cen bylo postupně 20 %, 10 %, poté -15 % a +10 %, pak průměrný koeficient růstu je roven (1,20 · 1,10 · 0,85 · 1,10)^1/4 ≅ 1,054, tzn. průměrné tempo růstu je přibližně 5,4 %. Toto číslo vyjadřuje, že výsledná cena by taková byla i v případě, že by tempo růstu bylo konstantní, každý rok 5,4 % (neboť 1,054⁴ ≅ 1,2 · 1,1 · 0,85 · 1,1).

Vlastnosti

Geometrický průměr je vždy menší nebo rovný než aritmetický průměr. Rovnost nastane jedině když jsou všechny průměrované hodnoty stejné – viz AG nerovnost. To mj. umožňuje definovat aritmeticko-geometrický průměr, který vždy leží mezi aritmetickým a geometrickým průměrem.

Geometrický průměr je lineárně homogenní funkce (h. f. 1. stupně), tzn. že pro každé t>0 platí

$G(tx_1,tx_2,...,tx_n) = t G(x_1,x_2,...,x_n) .$

Logaritmus geometrického průměru kladných hodnot je roven aritmetickému průměru logaritmů:

$\ln G = \frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i$

To znamená, že geometrický průměr lze chápat jako zobecněný f-průměr s logaritmickou transformací f(x) = ln x:

$G = \exp\left(\frac1n\sum_{i=1}^n \ln x_i\right).$

Související články

• Aritmetický průměr
• Harmonický průměr
• Medián
• Modus
• Nerovnost aritmetického a geometrického průměru
• Nerovnosti mezi průměry