Mocninná řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Skočit na: Navigace, Hledání

Důležitým případem funkční řady je mocninná řada (také označovaná jako potenční), která má tvar

a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

Mocninná řada bývá také zapisována jako

a_0 + a_1(x-x_0) + a_2{(x-x_0)}^2 + a_3 {(x-x_0)}^3 + ...+ a_n{(x-x_0)}^n + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n{(x-x_0)}^n

Substitucí z=x-x_0 \, však získáme předchozí řadu.

Obsah

[editovat] Poloměr konvergence

Mezi důležité vlastnosti mocninné řady patří, že pokud mocninná řada konverguje v bodě x_0 \neq 0, pak konverguje absolutně pro všechna x \in (-|x_0|,|x_0|). Největší vzdálenost |x_0| \, od počátku, pro kterou mocninná řada ještě konverguje, označujeme jako poloměr konvergence R \,, přičemž platí R \geq 0.

K určení poloměru konvergence se používají kritéria konvergence řad. Konvergenci v bodech x = \pm R je třeba vyšetřit samostatně.


Pokud je R>0 \,, pak je součet s(x) \, mocninné řady funkcí spojitou na intervalu (-R,R) \,.

[editovat] Výpočet poloměru konvergence

Dle Cauchy-Hademardovy věty je poloměr konvergence mocninné řady \sum_{n=0}^\infty a_n{(x-x_0)}^n roven

R = {1 \over {\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}},

přičemž se klade R = 0 \,, když limes superior je +\infty, a R = +\infty, když limes superior je 0.

Pokud existuje \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|, pak je taktéž hodnota této limity rovna poloměru konvergence.

[editovat] Vlastnosti

Pokud pro libovolné x_0 \in (-R,R) konverguje řada s(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n, pak konverguje také řada \phi(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\mathrm{d}(a_n x^n)}{\mathrm{d}x} pro dané x_0 \in (-R,R) a platí \phi(x) = \frac{\mathrm{d}s(x)}{\mathrm{d}x}. Říkáme, že mocninnou řadu lze derivovat člen po členu.


Na libovolném intervalu \langle a,b\rangle, který leží uvnitř (-R,R) \, lze mocninou řadu integrovat člen po členu, tzn. platí

\int_a^b s(x)\mathrm{d}x = \int_a^b a_0\mathrm{d}x + \int_a^b a_1x\mathrm{d}x + \int_a^b a_2 x^2 \mathrm{d}x + ... = \sum_{n=0}^\infty \int_a^b a_n x^n \mathrm{d}x

[editovat] Použití

Mocninné řady jsou často využívány např. při numerickém výpočtu hodnot funkcí, numerickém výpočtu určitých integrálů nebo při řešení diferenciálních rovnic.

[editovat] Související články


Citováno z „http://cs.wikipedia.org/wiki/Mocninn%C3%A1_%C5%99ada“