Mocninná řada

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Mocninná řada (jedné proměnné) v matematice je nekonečná řada tvaru

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-c \right)^n = a_0 + a_1 (x-c)^1
+ a_2 (x-c)^2 + a_3 (x-c)^3 + \cdots

kde an je koeficient n-tého členu, c je konstanta a x se mění v blízkosti c (z tohoto důvodu můžeme říkat, že řady mají střed v bodě c). Tyto řady obvykle vznikají jako Taylorovy řady nějaké známé funkce.

V mnoha situacích je c rovno nule, například u Maclaurinovy řady. Mocninná řada pak má jednodušší tvar


f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots.

Tyto mocninné řady se nejdříve objevily v analýze, ale také se objevují v kombinatorice (pod jménem generující funkce) a v elektrotechnice (pod jménem Z-transformace). Obvyklý desítkový zápis reálných čísel může být také považována za příklad mocninné řady s celočíselnými koeficienty a s pevnou hodnotou argumentu x rovnou \frac{1}{10}. Pojem p-adických čísel v teorii čísel také úzce souvisí s mocninnými řadami.

Příklady[editovat | editovat zdroj]

Exponenciální funkce (modře) a suma prvních n+1 členů její Maclaurinovy mocninné řady (červeně).

Každý polynom lze vyjádřit jako mocninnou řadu s libovolným středem c, která má většinu koeficientů rovných nule. Například polynom f(x) = x^2 + 2x + 3 může být zapsán jako mocninná řada o středu c=0 jako

f(x) = 3 + 2 x + 1 x^2 + 0 x^3 + 0 x^4 + \cdots \,

nebo o středu c=1 jako

f(x) = 6 + 4 (x-1) + 1(x-1)^2 +
0(x-1)^3 + 0(x-1)^4 + \cdots \,

nebo o středu c. Mocninnou řadu můžeme považovat za polynom nekonečného stupně, i když mocninné řady obecně polynomy nejsou.

Vzorec pro geometrickou řadu

 \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots,

který platí pro |x|<1, je jedním z nejdůležitějších příkladů mocninné řady, stejně jako řada pro exponenciální funkci

 e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots,

a vzorec pro funkci sinus

 \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}+\cdots,

platí pro všechna reálná x. Tyto mocninné řady jsou příkladem Taylorovy řady.

Záporné mocniny nejsou v mocninné řadě povoleny, například 1 + x^{-1} + x^{-2} + \cdots se nepovažuje za mocninnou řadu (i když to je Laurentova řada). Podobně ani neceločíselné mocniny jako x^{1/2} nejsou povoleny (jsou povoleny u Puiseuxových řad). Koeficienty a_n nesmí záviset na x, takže například:

\sin(x) x + \sin(2x) x^2 + \sin(3x) x^3 + \cdots \, mocninná řada není.

Poloměr konvergence[editovat | editovat zdroj]

Mocninná řada konverguje pro některé hodnoty proměnné x a může divergovat pro ostatní hodnoty. Všechny mocninné řady f(x) s mocninami (x-c) konvergují v bodě x = c. (Správné hodnoty f(c) = a0 vyžadují interpretaci výrazu 00 jako rovnou 1.) Pokud c není jediný bod, kde řada konverguje, pak existuje vždy číslo r, takové že 0 < r ≤ ∞ tak, že řada konverguje pro každé |xc| < r a diverguje pro každé |xc| > r. Číslo r se nazývá poloměr konvergence mocninné řady; obecně jej lze zapsat jako

r=\liminf_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{-\frac{1}{n}}

nebo, ekvivalentně,

r^{-1}=\limsup_{n\to\infty} \left|a_n\right|^{\frac{1}{n}}

(toto je Cauchy–Hadamardova věta). Rychlý způsob, jak tento výraz spočítat je

r^{-1}=\lim_{n\to\infty}\left|{a_{n+1}\over a_n}\right|

pokud tato limita existuje.

Řady konverguje absolutně pro |xc| < r a konverguje stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině {x : |xc| < r}. To jest, řada je absolutně a kompaktně konvergentní uvnitř disku konvergence.

Pro |xc| = r, nelze obecně říct, zda řada konverguje nebo diverguje. Ale v případě reálných proměnných, Abelova věta říká, že suma řady je spojitá v bodě x, pokud řada konverguje v bodě x. V případě komplexní proměnné, lze pouze prohlásit spojitost podél úsečky začínající v bodě c a končící v bodě x.

Operace na mocninných řadách[editovat | editovat zdroj]

Sčítání a odčítání[editovat | editovat zdroj]

Když jsou dvě funkce f a g rozloženy na mocninnou řadu se stejným středem c, mocninnou řadu součtu nebo rozdílu funkcí lze získat sčítáním nebo odčítáním po členech. Neboli pokud

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n
g(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n

pak

f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-c)^n.

Součin a podíl[editovat | editovat zdroj]

Pomocí definice uvedené výše pro mocninnou řadu součinu a podílu funkcí platí:

 f(x)g(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)
 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-c)^{i+j}
 = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) (x-c)^n.

Posloupnost m_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} se nazývá konvoluce posloupností a_n a b_n.

Pro dělení si všimněte, že

 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-c)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n} = \sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n
 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-c)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty d_n (x-c)^n\right)

a pak použít postup uvedený výše s porovnáváním koeficientů.

Derivace a integrace[editovat | editovat zdroj]

Pokud je funkce zadaná jako mocninná řada, je derivovatelná uvnitř oboru konvergence. Řadu lze snadno derivovat a integrovat člen po členu:


f^\prime (x) = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-c \right)^{n-1}= \sum_{n=0}^\infty a_{n+1} \left(n+1 \right) \left( x-c \right)^{n}

\int f(x)\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-c \right)^{n+1}} {n+1} + k = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{n-1} \left( x-c \right)^{n}} {n} + k.

Obě tyto řady mají stejný poloměr konvergence jako původní.

Analytické funkce[editovat | editovat zdroj]

Funkce f definované na nějaké otevřené podmnožině U množiny R nebo C se nazývá analytická, pokud je lokálně zadaná jako konvergentní mocninná řada. To znamená, že každé aU má otevřené okolí VU, takové, že existuje mocninná řada o středu a, která konverguje k f(x) pro každé xV.

Každá mocninná řada s kladným poloměrem konvergence je analytická na uvnitř své oblasti konvergence. Všechny holomorfní funkce jsou komplexně analytické. Součty a násobky analytických funkce jsou analytické, stejně jako podíly, pokud je dělitel nenulový.

Pokud funkce je analytická, pak existují její derivace všech řádů, ale opak v reálném případě obecně neplatí. Koeficienty analytické funkce an lze vyjádřit jako


a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( c \right)} {n!}

kde f^{(n)}(c) označuje n-tou derivaci f v bodě c a f^{(0)}(c) = f(c). To znamená, že každá analytická funkce je lokálně reprezentovaná svoji Taylorovou řadou.

Obecná forma analytické funkce je zcela určena svým lokálním chováním v následujícím smyslu: pokud f a g jsou dvě analytické funkce definované na stejné souvislé otevřené množině U, a pokud existuje prvek cU takový, že f (n)(c) = g (n)(c) pro všechna n ≥ 0, pak f(x) = g(x) pro všechna xU.

Pokud je zadaná mocninná řada s poloměrem konvergence r, můžeme uvažovat analytické pokračování řady, tj. analytické funkce f, které jsou definované na větších množinách než { x : |xc| < r } a souhlasí se zadanou mocninnou řadou na této množiny. Číslo r je maximální v následujícím smyslu: vždy existuje komplexní číslo x s |xc| = r takový, že žádné analytické pokračování řady nemůže být v bodě x.

Rozvoj mocninná řada inverzní funkce analytické funkce může být určena pomocí Lagrangeovy inverzní formule.

Formální mocninná řada[editovat | editovat zdroj]

V abstraktní algebře, lze zachytit podstatu mocninných řad bez omezení na obor integrity reálných nebo komplexních čísel a bez potřeby uvažovat konvergenci. To vede k pojmu formální mocninné řady, který je velmi užitečný v algebraické kombinatorice.

Mocninné řady více proměnných[editovat | editovat zdroj]

Rozšíření teorie je nutné pro diferenciální a integrální počet více proměnných. Mocninná řada je zde definované jako nekonečná řada tvaru


f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

kde j = (j1, ..., jn) je vektor přirozených čísel, koeficienty a(j1,...,jn) jsou obvykle reálná nebo komplexní čísla, a střed c = (c1, ..., cn) a argument x = (x1, ..., xn) jsou obvykle reálné nebo komplexní vektory. V obvyklejší multi-indexové notaci lze napsat


f(x) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^n} a_{\alpha} \left(x - c \right)^{\alpha}.

Teorie takových řad je složitější než teorie řad jedné proměnné, se složitějšími oblastmi konvergence. Například mocninná řada  \sum_{n=0}^\infty x_1^n x_2^n je absolutně konvergentní na \{ (x_1,x_2): |x_1 x_2| < 1\} mezi oběma hyperbolami. (Toto je příklad log-konvexní množiny v tom smyslu, že množina bodů (\log |x_1|, \log |x_2|), kde (x_1,x_2) leží v uvedené oblasti, je konvexní množina. Obecněji můžeme ukázat, že pokud c=0, uvnitř oblasti absolutní konvergence je vždy log-konvexní množina v tom to smyslu.) Na druhou stranu, uvnitř této oblasti konvergence můžeme derivovat a integrovat pod symbolem řady stejně jako v případě normální mocninné řady.

Řád mocninné řady[editovat | editovat zdroj]

Nechť α je multi-index mocninné řady f(x1, x2, …, xn). Řád mocninné řady f se definuje jako nejmenší hodnota |α| taková, že aα ≠ 0, nebo 0 pokud f ≡ 0. Speciálně pro mocninnou řadu f(x) jedné proměnné x, řád f je nejmenší mocnina x s nenulovým koeficientem. Tuto definici lze jednoduše rozšířit na Laurentovy řady.

Reference[editovat | editovat zdroj]

Power series Encyclopedia of Mathematics V tomto článku byl použit překlad textu z článku Power series na anglické Wikipedii.

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]