Z-transformace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Z-transformace je název několika matematických transformací.

Funkce komplexní proměnné[editovat | editovat zdroj]

Z-transformace (jednostranná, unilaterální) posloupnosti x(k) je definována


X(z)=\sum_{k=0}^{\infty} x(k)z^{-k}
,

kde z je komplexní proměnná. Množina hodnot z, pro něž sumace konverguje, se nazývá oblast konvergence. Lze ukázat, že jestliže sumace konverguje pro danou posloupnost v bodě z_0, pak konverguje v každém bodě z, pro který platí \left|z\right|>\left|z_0\right|. Oblast konvergence Z-transformace je tedy \left|z\right|>R, kde R je dáno chováním posloupnosti x(k) pro k\to\infty .

Inverzní Z-transformace je dána vztahem:


x(k)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{C} X(z)z^{k-1}\, \mathrm{d}z

kde C je jednoduchá uzavřená a kladně orientovaná křivka ležící v oblasti konvergence a obklopující počátek.

S použitím Z-transformace se setkáme hlavně při řešení diferenčních rovnic, při hledání vlastností a realizaci systémů pracujících v diskrétním čase (např. digitální signální procesor).

Statistika[editovat | editovat zdroj]

Fisherova z-transformace[editovat | editovat zdroj]

Je-li r výběrový koeficient korelace mezi dvěma náhodnými vektory X a Y, má Fisherova Z-transformace tvar


Z=\frac{1}{2}\ln\frac{1+r}{1-r}
.

Pokud oba náhodné vektory X i Y pocházejí z normálního rozdělení, má takto vzniklá náhodná veličina Z přibližně normální rozdělení.

Transformace na z-skóry[editovat | editovat zdroj]

Jako z-transformace se ve statistice také označuje lineární transformace souboru hodnot kvantitativního (číselného) znaku. Jejím cílem je dosáhnout u transformovaného znaku průměru rovného nule a směrodatné odchylky rovné jedné. Hodnoty po transformaci se pak označují jako z-skóry.

Je-li průměr souboru hodnot roven μ a směrodatná odchylka rovna σ, má z-transformace tvar


y=\frac{x-\mu}{\sigma}
,

kde x jsou původní hodnoty a y transformované hodnoty.

Související články[editovat | editovat zdroj]

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]