Diferenční rovnice

Tento článek potřebuje úpravy.

Můžete Wikipedii pomoci tím, že ho vylepšíte. Jak by měly články vypadat, popisují stránky Vzhled a styl, Encyklopedický styl a Odkazy.

Diferenční rovnice je rovnice složena z k-tých diferencí nějaké posloupnosti $a_n\,$.

Máme-li danou posloupnost $\{a_n\}\,$, pak

$d(a_n) = a_n - a_{n-1}\,$

je první diference n-tého členu a

$d^2(a_n) = d(a_n) - d(a_{n-1}) = (a_n - a_{n-1}) - (a_{n-1} - a_{n-2}) = a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2}$

je druhá diference n-tého členu.

Obecně k-tou differenci definujeme jako

$d^k = d^{k-1}(a_n) - d^{k-1}(a_{n-1})\,$.

Vztah k rekurentním vztahům

Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

$3d^2(a_n) + 2d(a_n) + 7a_n = 0\,$

je ekvivalentní rekurentnímu vztahu

$12a_n = 8a_{n-1} - 3a_{n-2}\,$.