Diferenční rovnice

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie
Skočit na: Navigace, Hledání

Diferenční rovnice je rovnice složena z k-tých diferencí nějaké posloupnosti a_n\,.

Máme-li danou posloupnost \{a_n\}\,, pak

d(a_n) = a_n - a_{n-1}\,

je první diference n-tého členu a

d^2(a_n) = d(a_n) - d(a_{n-1}) = (a_n - a_{n-1}) - (a_{n-1} - a_{n-2}) = a_n - 2a_{n-1} + a_{n-2}

je druhá diference n-tého členu.

Obecně k-tou differenci definujeme jako:

d^k = d^{k-1}(a_n) - d^{k-1}(a_{n-1})\,.

Vztah k rekurentním vztahům[editovat | editovat zdroj]

Lineární rekurentní vztahy jsou diferenční rovnice, a naopak; protože je to obvyklá forma rekurze, někteří autoři používají tyto dva vztahy zaměnitelně. Například, diferenční rovnice

3d^2(a_n) + 2d(a_n) + 7a_n = 0\,

je ekvivalentní rekurentnímu vztahu

12a_n = 8a_{n-1} - 3a_{n-2}\,.