Konvoluce

Konvoluce dvou signálů: obdélníkového pulsu a impulsní charakteristika RC článku. Výsledek je stejný jako odezva RC článku na stejný puls.

Konvoluce je matematický operátor zpracovávající dvě funkce.

Spojitá konvoluce (značí se hvězdičkou) jednorozměrných funkcí $f(x)$ a $g(x)$ je definována vztahem:

$(f*g)(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f( \alpha) g(x- \alpha) \, \mathrm{d} \alpha$

Funkci $g(x)$ se říká konvoluční jádro. Hodnota konvoluce funkce $f$ s jádrem $g$ v bodě $x$ je integrál ze součinu funkce $f$ s otočenou funkcí konvolučního jádra (integrační proměnná $\alpha$ má v argumentu konvolučního jádra $g(x-\alpha)$ záporné znaménko) posunutou do bodu $x$.

Pokud jde o konvoluci v Image Processing (zpracovávání obrazu) je funkce $f(x)$ většinou zkoumaný obrázek a funkce $g(x)$ nějaký filtr.

Vlastnosti konvoluce

Komutativní

$f * g = g * f \,$

Asociativní

$f * (g * h) = (f * g) * h \,$

Distributivní

$f * (g + h) = (f * g) + (f * h) \,$

Existence jednotky

$f * \delta = \delta * f = f \,$

kde δ je tzv. Diracova delta funkce:

$\delta(x) = 0 , x \ne 0$

a $\lim_{x \to 0}\delta(x)=\infty$. Integrál Delta funkce je roven 1:

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$

Jde tedy o puls trvající nekonečně krátkou dobu.

Asociativita při násobení skalárem

$a (f * g) = (a f) * g = f * (a g) \,$

pro všechna reálná (nebo komplexní) čísla $a$.

Konvoluční teorém

$\mathcal{F}(f * g) = \left[\mathcal{F} (f)\right] \cdot \left[\mathcal{F} (g)\right] = F \cdot G$

kde $\mathcal{F}(f)\,$ značí Fourierovu transformaci $f \,$

$\mathcal{F}\left[f(x)\right]\equiv F(k) \equiv\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

Dk.:

$F(k)=\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

$G(k)=\int^\infty_{-\infty}g(x)\exp(-2 \pi i k x)dx$

$h(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x) g(z- x) dx$

$H(k)=\int^\infty_{-\infty}h(z)\exp(-2 \pi i k z)dz= \int^\infty_{-\infty}\left[\int^\infty_{-\infty}f(x) g(z- x)dx\right]\exp(-2 \pi i k z)dz=$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\left[\int^\infty_{-\infty} g(z- x)\exp(-2 \pi i k z) dz \right]dx=$

substituce: $y=z-x\,$ a tedy $dy=dz\,$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\left[\int^\infty_{-\infty}g(y)\exp(-2 \pi i k (y+x))dy \right]dx=$

$=\int^\infty_{-\infty}f(x)\exp(-2 \pi i k x)dx\cdot\int^\infty_{-\infty}g(y)\exp(-2 \pi i k y)dy=F(k)\cdot G(k)$

Diskrétní konvoluce

$(f * g)_k\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_i \cdot g_{k - i}$

$= \sum_{i=-\infty}^{\infty} f_{k-i} \cdot g_i$

Příklad

V případě dvou konečných řad se samozřejmě nesčítá od −∞ do +∞, ale pouze přes existující prvky. (Případně si lze na pozici neexistujících prvků řady představit nuly.) Výsledná řada je o jeden prvek kratší než je součet délek konvoluovaných řad.

Konvoluce dvou řad:

(a, b, c, d) * (e, f, g) =
= (a*e) (a*f) (a*g)
        (b*e) (b*f) (b*g)
              (c*e) (c*f) (c*g) 
                    (d*e) (d*f) (d*g)
  -----------------------------------
  následuje sečtení pod sebou

Výsledek je stejný, jakoby se jednalo o součin dvou polynomů. (Koeficienty násobených polynomů by představovaly dvě konvoluované řady, koeficienty součinu polynomů by odpovídaly výsledku konvoluce.)

Konkrétní čísla:

(1, 2, -2, -1) * (1, -1, 2) =
= 1 -1  2
     2 -2  4
       -2  2 -4
          -1  1 -2
 ------------------
 (1, 1,-2, 5,-3,-2)

Jinou možností výpočtu je použití maticového násobení.

$\begin{bmatrix}a & b & c & d\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}e & f & g\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b & c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}e & f & g & 0 & 0 & 0 \\ 0 & e & f & g & 0 & 0 \\ 0 & 0 & e & f & g & 0 \\ 0 & 0 & 0 & e & f & g\end{bmatrix}$

Konkrétní čísla:

$\begin{bmatrix}1 & 2 & -2 & -1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}1 & -1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 & -2 & -1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & -1 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 1 & -2 & 5 & -3 & -2\end{bmatrix}$

Využití v počítačové grafice

Konvoluce se často používá při algoritmech zpracování dvourozměrného diskrétního obrazu v počítačové grafice. Vzorec diskrétní konvoluce má potom tvar:

$(f*h)(x,y) = \sum_{i=-k}^k \sum_{j=-k}^k f(x-i,y-j) \cdot h(i,j)$

Princip diskrétní dvourozměrné konvoluce

V případě diskrétní konvoluce lze jádro chápat jako tabulku (konvoluční maska), kterou položíme na příslušné místo obrazu. Každý pixel překrytý tabulkou vynásobíme koeficientem v příslušné buňce a provedeme součet všech těchto hodnot. Tím dostaneme jeden nový pixel.

Například mějme konvoluční masku o rozměru 3×3 (bude překryto 9 pixelů) a všechny buňky mají koeficient 0,111 (1/9). Nový pixel, který vypočteme po aplikaci na jedno místo v původním obraze, tedy bude průměrem z devíti okolních pixelů. Neudělali jsme totiž nic jiného, než že jsme sečetli hodnoty 9 pixelů a vydělili 9. Pokud aplikujeme konvoluci na celý obraz, pak dostaneme rozostřený obraz. Pokud použijeme větší konvoluční masku 5×5 s koeficienty 1/25, pak bude obraz rozostřen více.

Koeficienty uvnitř konvoluční masky udávají vliv hodnoty pixelu pod nimi. Lze tak nadefinovat velké množství operací, např. derivace obrazu (u diskrétního obrazu mluvíme o tzv. odhadu derivace), tedy zvýraznění hran (viz detekce hran).