Řada (matematika)

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Řada (také nekonečná řada) je matematický výraz ve tvaru $\sum_{n=1}^\infty a_n$ , kde $a_1, a_2, a_3, \ldots$ je nějaká posloupnost.

Pokud jsou členy řady tvořeny čísly, tzn. každý člen $a_n \,$ závisí pouze na svém pořadovém čísle $n \,$ , pak hovoříme o číselných řadách (řadách s konstantními členy). Každý prvek řady však může záviset nejen na svém pořadovém čísle $n \,$ , ale také na dalších parametrech. Takové řady označujeme jak funkční (popř. také funkcionální). Funkční řada je řada, jejímiž členy jsou funkce. Funkční řadu, kterou získáme z funkční posloupnosti $(f_n(x)) \,$ , vyjadřuje výraz

$\sum_{n=1}^\infty f_n(x) = f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+ \cdots$

pro $x \in (a,b)$ .

Zvolíme-li libovolné $x_0 \in (a,b)$ , pak získáme číselnou řadu $\sum_{n=1}^\infty f_n(x_0)$ .

[editovat] Součet řady

Z posloupnosti $a_1, a_2, a_3, \ldots$ lze vytvořit novou posloupnost $(s_n) \,$ , jejíž členy jsou určeny jako $s_n=\sum_{k=1}^n a_k$ , tedy (konečný) součet prvních k prvků posloupnosti $(a_n) \,$ . Posloupnost $(s_n) \,$ označujeme jako posloupnost částečných součtů řady $\sum a_n$ . Člen $s_n \,$ této posloupnosti se nazývá $n$ -tým částečným součtem nekonečné řady.

Součet nekonečné řady je definován prostřednictvím limity posloupnosti částečných součtů jako

$\lim_{n \to \infty}s_n$ .

Termín „řada“ bývá v některých případech ztotožňován s tímto součtem.

[editovat] Konvergence řady

Má-li posloupnost částečných součtů konečnou limitu, tzn.

$\lim_{n \to \infty} s_n=s$ ,

pak říkáme, že řada je konvergentní (např. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ ), popř. bodově konvergentní v případě funkční řady. Pokud uvedená limita neexistuje (např. $\sum_{n=1}^\infty (-1)^n$ - posloupnost částečných součtů je oscilující) nebo je nevlastní, tzn. $s= \pm \infty$ (např. $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty$ ), pak říkáme, že řada je divergentní.

Pro číselné řady je součtem řady číslo. Pro funkční řady je součtem řady funkce $s(x) = \lim_{n \to \infty} s_n(x)$ .

Řada $a 1 + a 2 + a 3 + ...$ komplexních čísel $a_k = \alpha_k+\mathrm{i}\beta_k \,$ , kde $\alpha_k, \beta_k \,$ jsou reálná čísla pro $k=1,2,... \,$ , je konvergentní tehdy a jen tehdy, konvergují-li obě řady $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+... \,$ a $\beta_1+\beta_2+\beta_3+... \,$ .

Pokud $\lim_{n \to \infty} \alpha_n=\alpha$ a $\lim_{n \to \infty} \beta_n=\beta$ , pak

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty}\alpha_n + \mathrm{i}\lim_{n \to \infty} \beta_n = \alpha+\mathrm{i}\beta = a$

Konverguje-li řada $\sum a_n$ , pak konverguje také řada $\sum c a_n$ . Jestliže konverguje řada $\sum a_n$ , pak konverguje také řada, kterou z této řady získáme přidáním nebo odebráním konečného počtu členů. Pokud řada $\sum a_n$ diverguje, pak bude divergentní také řada, která vznikne z této řady přidáním nebo odebráním konečného počtu členů.

U funkčních řad $\sum f_n(x)$ označujeme množinu $\mathbf{M}$ všech $x$ , pro která je daná řada konvergentní, jako obor konvergence dané řady.

[editovat] Absolutní konvergence

Pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ , potom konverguje také řada $\sum_{n=1}^\infty a_n$ , přičemž říkáme, že řada $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje absolutně.

Pokud konverguje řada $\sum_{n=1}^\infty a_n$ , avšak řada $\sum_{n=1}^\infty |a_n|$ diverguje, pak říkáme, že řada $\sum_{n=1}^\infty a_n$ konverguje neabsolutně.

Pro absolutně konvergentní řady platí komutativní, asociativní a distributivní zákony. Přesouváním členů absolutně konvergentní řady se nezmění konvergence ani součet řady.

Máme-li dvě absolutně konvergentní řady $\sum_{n=1}^\infty a_n, \sum_{n=1}^\infty b_n$ se součty $s_a, s_b \,$ , pak platí

$\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n) = s_a+s_b$

$\sum_{n=1}^\infty c_n = \sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{n=1}^\infty b_n = s_a s_b$ ,

kde $c_n = a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... +a_{n-1}b_2 + a_n b_1 \,$ .

[editovat] Stejnoměrná konvergence

Řadu funkcí $\sum_{i=1}^\infty f_i(z)$ označíme jako stejnoměrně konvergentní, pokud v uzavřené oblasti $\mathbf{G}$ komplexní roviny $z$ existuje takové číslo $\varepsilon>0$ a k němu číslo $N(\varepsilon)$ , že pro libovolné $n>N(\varepsilon)$ a $z \in \mathbf{G}$ platí $|s_n-s|<\varepsilon$ . Je-li $z$ reálné, pak oblast $G$ představuje interval.

[editovat] Podmínky konvergence

U konvergentních řad lze zavést tzv. zbytek řady po $n$ -tém součtu jako

$R_n = s - s_n \,$

Podmínku konvergence řady lze vyjádřit také tak, že nekonečná řada konverguje právě tehdy, pokud k libovolnému kladnému číslu $\varepsilon$ existuje takové $N(\varepsilon)$ , že pro libovolné $n>N(\varepsilon)$ platí nerovnost

$\left|R_n\right| = \left|s-s_n\right| < \varepsilon$

Nutnou podmínkou konvergence řady $\sum a_n$ je

$\lim_{n \to \infty} a_n=0$

Pokud součet řady $\sum a_n$ vyjádříme ve tvaru $s=s_n+R_n \,$ , kde $s_n \,$ je $n \,$ -tý částečný součet a $R_n \,$ je zbytek řady po $n \,$ -tém částečném součtu, pak nutnou a postačující podmínku konvergence této řady lze vyjádřit vztahem

$\lim_{n \to \infty} R_n = \lim_{n \to \infty} (s-s_n)=0$

Nutná a postačující podmínka konvergence bývá také vyjadřována ve formě tzv. Bolzanova-Cauchyova kritéria. Podle něj je nekonečná řada konvergentní právě tehdy, existuje-li k libovolnému $\varepsilon>0$ takové číslo $N(\varepsilon)$ , že pro libovolná $m>N(\varepsilon), n>N(\varepsilon)$ platí

$\left|s_m-s_n\right|<\varepsilon$

[editovat] Kritéria konvergence

Určení součtu řady a tedy rozhodnutí o konvergenci nebo divergenci bývá často poměrně složité. V mnoha případech je postačující nahradit součet nekonečné řady $s \,$ jejím $n \,$ -tým částečným součtem $s_n \,$ . U konvergentních řad se chyba $|s_n-s| \,$ , které se touto náhradou dopouštíme, s rostoucím $n \,$ zmenšuje. U divergentních řad tomu tak ale není. Je tedy důležité umět rozhodnout o konvergenci nebo divergenci dané řady, aniž bychom získali součet řady.

K tomuto účelu můžeme použít buď přímo podmínky konvergence řad, nebo tzv. kritéria konvergence řad.

Kritéria konvergence řad ulehčují rozhodnutí o konvergenci (nebo divergenci) nekonečné řady. Kritérií pro určování konvergence existuje celá řada, přičemž každý řešený případ je nutno posuzovat zvlášť a zvolit vhodné kritérium.

[editovat] Srovnávací kritérium

Při srovnávacím (porovnávacím) kritériu uvažujeme dvě řady s kladnými členy $\sum a_n, \sum b_n$ , přičemž pro všechna $n \,$ platí $a_n<b_n \,$ . Řadu $\sum a_n$ označujeme jako minorantní řadu (minorantu) k řadě $\sum b_n$ a řadu $\sum b_n$ jako majorantní řadu (majorantu) k řadě $\sum a_n$ . Potom platí, že pokud konverguje majoranta, tzn. $\sum b_n$ , konverguje také minoranta, tedy $\sum a_n$ . Diverguje-li minoranta $\sum a_n$ , diverguje také majoranta, tedy $\sum b_n$ .

[editovat] Podílové kritérium

Při podílovém (d'Alembertově) kritériu konverguje řada s kladnými členy $\sum a_n$ tehdy, existuje-li reálné číslo $q < 1$ a přirozené číslo $n_0 \,$ takové, že pro každé $n>n_0 \,$ platí $\frac{a_{n+1}}{a_n}<q$ . Pokud je $\frac{a_{n+1}}{a_n}\geq 1$ , pak řada diverguje.

[editovat] Limitní podílové kritérium

Zavedeme-li pro řadu s kladnými členy $\sum a_n$ veličinu $L = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}$ , pak dostáváme tzv. limitní podílové kritérium konvergence, podle kterého je řada $\sum a_n$ konvergentní pro $L<1 \,$ , divergentní pro $L>1 \,$ a pro $L=1 \,$ může být konvergentní nebo divergentní.

[editovat] Odmocninové kritérium

Při odmocninovém (Cauchyově) kritériu uvažujeme, že řada s kladnými členy $\sum a_n$ konverguje, pokud existuje reálné číslo $q < 1$ a přirozené číslo $n_0 \,$ , že pro každé $n>n_0 \,$ platí $\sqrt[n]{a_n}<q$ . Pro $\sqrt[n]{a_n}\geq 1$ řada diverguje.

[editovat] Limitní odmocninové kritérium

Pokud pro řadu s kladnými členy $\sum a_n$ zavedeme $K = \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}$ , pak můžeme použít limitní odmocninové kritérium, podle kterého je řada konvergentní pro $K<1 \,$ , divergentní pro $K>1 \,$ a pro $K=1 \,$ může konvergovat nebo divergovat.

[editovat] Raabeovo kritérium

Podle Raabeova kritéria je řada s kladnými členy $\sum a_n$ konvergentní tehdy, pokud existuje takové přirozené číslo $n_0 \,$ , že pro všechna $n>n_0 \,$ platí $n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})>1$ . Jestliže $n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})\leq 1$ , pak řada $\sum a_n$ diverguje.

[editovat] limitní Raabeovo kritérium

Jestliže pro řadu s kladnými členy $\sum a_n$ zavedeme $M = \lim_{n \to \infty} n(1-\frac{a_{n+1}}{a_n})$ , pak na základě limitního Raabeova kritéria určíme, že řada konverguje pro $M>1 \,$ , diverguje pro $M<1 \,$ a pro $M=1 \,$ může konvergovat i divergovat.

[editovat] Integrální kritérium

Nechť $\sum a_n$ je řada s kladnými členy, jejíž členy lze vyjádřit jako $a_n=f(n) \,$ . Pokud ve funkci $f(n) \,$ nahradíme diskrétní proměnnou $n \,$ spojitou proměnnou $x \,$ , přičemž $f(x) \,$ bude spojitou a nerostoucí funkcí na intervalu $\langle a,\infty)$ , kde $a>0 \,$ , pak podle tzv. integrálního kritéria je řada $\sum a_n$ konvergentní tehdy, pokud konverguje integrál $\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x$ . Pokud integrál $\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x$ diverguje, pak diverguje také řada $\sum a_n$ .

[editovat] Leibnizovo kritérium

Pro alternující řady, které zapíšeme jako $\sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1}a_n$ , kde $a_n>0 \,$ , lze použít Leibnizovo kritérium. Podle tohoto kritéria konverguje uvedená alternující řada tehdy, pokud $a_1>a_2>a_3>... \,$ , a zároveň $\lim_{n \to \infty} a_n=0$ .

[editovat] Gaussovo kritérium

^[1]Nechť $(a_n) \,$ je kladná posloupnost, pro niž existují $q, \alpha \in \mathbb{R}$ , kladné $\varepsilon$ a omezená posloupnost $(c_n) \,$ taková, že pro všechny $n \in \mathbb{N}$ platí:

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = q - \frac{\alpha}{n} + \frac{c_n}{n^{1 + \varepsilon}}$

Když $q < 1 \,$ nebo když $q = 1 \,$ a $\alpha > 1 \,$ , pak řada $\sum a_n$ konverguje.
Když $q > 1 \,$ nebo když $q = 1 \,$ a $\alpha \leq 1$ , pak řada $\sum a_n$ diverguje.

[editovat] Dirichletovo kritérium

Nechť $(a_n) \,$ je reálná posloupnost a $(b_n) \,$ komplexní posloupnost pro které platí:

$(a_n) \,$ je monotonní a $\lim_{n \to \infty} a_n=0$ ;
$(b_n) \,$ má omezenou posloupnost částečných součtů.

Pak řada $\sum a_n b_n$ konverguje.

[editovat] Abelovo kritérium

Nechť $(a_n) \,$ je reálná posloupnost a $(b_n) \,$ komplexní posloupnost pro které platí:

$(a_n) \,$ je monotonní a konvergentní;
$\sum b_n$ je konvergentní řada.

Pak řada $\sum a_n b_n$ konverguje.

[editovat] Přerovnání řady

Operace sčítání v $\mathbb{C}$ je komutativní. Proto při sčítání konečného počtu čísel nezáleží na pořadí, v jakém jsou sčítány. Při nekonečně mnoha sčítancích tomu tak být nemusí.

Přerovnáním řady $\sum a_n$ podle $\phi \,$ se nazývá řada $\sum a_{\phi(n)}$ , kde $\phi \,$ je bijekce $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ .

Pokud je řada $\sum a_n$ absolutně konvergentní, pak její každé přerovnání je také absolutně konvergentní řada a má stejný součet.

[editovat] Riemannova věta

Je-li řada $\sum a_n$ neabsolutně konvergentní reálná řada, pak ke každému $s \in \overline{\mathbb{R}}$ existuje přerovnání $\sum a_{\phi(n)}$ , jež má součet $s \,$ . Rovněž existuje oscilující přerovnání $\sum a_{\psi(n)}$ .

[editovat] Násobení řad

Pro absolutně konvergentní řady $\sum_{n=1}^\infty a_n$ a $\sum_{n=1}^\infty b_n$ platí:

$\left(\sum_{n=1}^\infty a_n\right)\left(\sum_{n=1}^\infty b_n\right) = \sum_{n=2}^\infty {\sum_{k=1}^{n-1} {a_k b_{n-k}}}$

[editovat] Některé významné řady

Aritmetická řada je řada, v níž každý následující prvek je zvětšen o konstantní hodnotu. Např.

$1 + 3 + 5 + 7 + ... = \sum_{n=1}^\infty \left[1 + 2(n-1)\right]$ .

Geometrická řada je taková řada, v níž je každý následující prvek konstantním násobkem předchozího prvku. Například

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^n}.$

Obecně lze říci, že geometrická řada $\sum_{n=0}^\infty z^n$ konverguje právě tehdy, je-li $|z| < 1 \,$ .

Harmonická řada je řada tvaru

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty$

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. $\lim_{n \to \infty} a_n=0$ , je součet této řady roven nekonečnu, tedy řada diverguje. Nazývá se harmonická, protože každý člen, kromě prvního, je harmonickým průměrem členu sousedícího zleva a členu sousedícího zprava.

Řada s kladnými členy je taková řada $\sum a_n$ , jejíž všechny členy vyhovují podmínce $a_n>0 \,$ .

Alternující řada je řada, jejíž členy pravidelně střídají znaménka. Jde tedy o řadu

$\sum_{n=1}^\infty a_n = \sum_{n=1}^\infty {(-1)}^{n+1}\left|a_n\right|$

[editovat] Reference

↑ Springer online, Gauss criterion

[editovat] Související články

[0] Springer online, Gauss criterion

[1]