Harmonická řada

Harmonická řada je posloupnost částečných součtů posloupnosti převrácených hodnot přirozených čísel

$({1 \over n})_{n=1}^\infty = 1, {1 \over 2}, {1 \over 3}, \dots$.

Vlastnosti

Řada se nazývá harmonická, protože každý člen kromě prvního je harmonickým průměrem sousedních členů.

Ačkoli je splněna nutná podmínka pro konvergenci řady, tj. $\lim_{n \to \infty} {1\over n} = 0$, řada diverguje a její součet je roven nekonečnu,

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \infty.$

To je důsledkem odhadu pro posloupnost částečných součtů, který objevil Mikuláš Oresme:

$s_{2^n} = \sum_{k=1}^{2^n} \frac{1}{k} = 1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + \cdots + \frac {1} {2^n} \ge 1+ \frac 1 2+ (\frac 1 4 + \frac 1 4) + ... + (\frac 1 {2^n} + ... + \frac 1 {2^n})= 1+ \frac n 2 .$

Posloupnost částečných součtů tedy roste logaritmicky, pro $m=2^n$ tedy platí

$s_m \ge 1 + {1 \over 2} \log_2 m .$

To je vidět i pomocí určitého integrálu:

$s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \ge \int_1^{n+1} \! {1 \over x}\,dx = \ln (n+1) .$

Přesněji platí zajímavý vztah

$\lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^{n} {1 \over k} - \ln n) = \gamma,$

kde $\gamma$ je Eulerova konstanta, o níž není dosud známo, zda je iracionální číslo.

Členy posloupnosti částečných součtů se nazývají harmonická čísla a značí se

$H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$.

Je např. zajímavé, že desetinná čísla jsou jen $H_1, H_2, H_6 = 2,45.$

Související články

• Řada
• Harmonická posloupnost
• Harmonický průměr

Literatura

• JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet I. Praha: NČSAV, 1974.
• JARNÍK Vojtěch. Diferenciální počet II. Praha: NČSAV, 1984.