Rozšířená reálná čísla

Rozšířená reálná čísla (značení $\R^*\,\!$) je název používaný v matematická analýze pro množinu $\R\cup \{+\infty, -\infty \} \,\!$, tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.

Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce $y = \lim_{x\to x_0}f(x)\,\!$ je potřeba ošetřit celkem devět možností: $x_0\,\!$ i $y\,\!$ může být reálné číslo, $-\infty \,\!$ nebo $+\infty \,\!$; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.

Aritmetické operace

Ve většině případů lze aritmetické operace rozumně definovat (například $4 - (-\infty) = +\infty ; \,\!$ $\,\,2 : (-\infty) = 0 \,\!$ atd. Některé případy jsou však nedefinovány, např. $(+\infty) - (+\infty) \,\!$ nebo $2 : 0 \,\!$

Nerovnost a $\varepsilon$-okolí

Pro každé $x\in \R \,\!$ platí $-\infty <x <+\infty \,\!$.

Pojem "$\varepsilon-\,\!$ okolí bodu $x\,\!$" je označován $U_\varepsilon(x)\,\!$ a má tuto definici:

Pro každé $x \in \R^*\,\!$ a $\varepsilon \in \R^+\,\!$ je

• $U_\varepsilon(x) = ( x - \varepsilon, x + \varepsilon ) \,\!$ pokud $x \in R\,\!$
• $U_\varepsilon(x) = \langle -\infty, -{1 \over \varepsilon} )\,\!$ pokud $x =-\infty \,\!$
• $U_\varepsilon(x) = ( {1 \over \varepsilon}, +\infty \rangle \,\!$ pokud $x =+\infty \,\!$

Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako $P_\varepsilon(x) = U_\varepsilon(x)-\{x\} \,\!$.

Okolí vs. $\varepsilon$-okolí

Množina $A\subseteq \R^* \,\!$ se nazývá okolím bodu $x \in \R^* \,\!$, pokud obsahuje $\varepsilon$-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.

Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.

Topologie

Na $\R^*\,\!$ lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.

Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na $\R\subsetneq\R^* \,\!$) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení $d(x,y) = |\operatorname{arctan}(x)- \operatorname{arctan}(y)| \,\!$, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že $\operatorname{arctan}(+\infty) = {\pi\over 2} \, , \operatorname{arctan}(-\infty) = -{\pi\over 2} \,\!$.

Limita posloupnosti

Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti $a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\!$ pro konečné i nekonečné $a$ .

Budiž $a_n \,\!$ posloupnost reálných čísel a $a\in\R^*\,\!$. Řekneme, že $a = \lim_{n\to +\infty}a_n\,\!$, pokud

$(\forall\epsilon\in\R^*)(\exist n_0\in\N)(\forall n>n_0) a_n\in U_\epsilon(a)\,\!$

Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.

Limita funkce

Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné $x_0$ a $y$:

Je-li $f : D_f \subseteq \R\to\R\,\!$ funkce, $y\in R^*$ a $x_0\in R^*$ takové, že $x_0$ leží v uzávěru $D_f \,\!$ ( definiční obor $D_f \,\!$ sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru - viz topologie na $R^*$ - může ležet i nekonečno), pak říkáme, že

$y = \lim_{x\to x_0}f(x) \iff \forall\epsilon\in\R^+\exist\delta\in\R^+:f[P_\delta(x_0)] \subseteq P_\epsilon(f(x_0)) \,\!$

Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí $U_1$ bodu $y$ existuje prstencové okolí $P_2$ bodu $x_0$ takové, že obraz $P_2$ leží v $U_1$ (tj. $f[P_2] \subseteq U_1\,\!$).

_{Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby $U_\epsilon(x)\subseteq U_1\,\!$. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci $\delta$ s příslušnou vlastností; poté $P_2$ zvolme jako $P_\delta(x)$. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme $U_1= U_\epsilon(x)$ a $\delta$ zvolíme tak, aby $P_\delta(x)\subseteq P_2$.}